【解题报告】十二重计数法

I：球之间互不相同，盒子之间互不相同。

对于这部分的计数，很显然方案总数是 \(nm\)

II：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

对于这部分的计数，每个盒子只有 \(0/1\) 两种状态

对于每种都需要在没选出来的里做出选择，方案数也就是 \(\prod_{i=0}^{n-1}(m-i)\)

III：球之间互不相同，盒子之间互不相同，每个盒子至少装一个球。

我们考虑进行容斥，结果就是：\((0个盒子空置的方案数)−(1个盒子空置的方案数)+(2个盒子空置的方案数)-.... = \sum_{i=0}^{m}(-1)^i \dbinom{m}{i}(m-i)^n\)

IV：球之间互不相同，盒子全部相同。

我们考虑吧枚举有多少个空盒子，那么我们就可以列出以下式子

\[\begin{align} ans&=\sum_{i=1}^{n}\frac{\sum_{j=0}^{i}(-1)^j \dbinom{i}{j}(i-j)^n}{i!} \\ &=\sum_{i=1}^{n}\frac{\sum_{j=0}^{i}(-1)^j \frac{i!}{j!(i-j)!}(i-j)^n}{i!}\\ &=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=0}^{i}(-1)^j \frac{1}{j!(i-j)!}(i-j)^n}\\ &=\sum_{i=1}^n\frac{(-1)^n}{j!}\sum_{j=0}^{i}\frac{(i-j)^n}{(i-j)!}\\ &=\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^n}{j}\sum_{i=j}^{m}\frac{(i-j)^n}{(i-j)!}\\ &=\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^n}{j}\sum_{i=0}^{m-j}\frac{i^n}{i!} \end{align} \]

V：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球

考虑看 \(n\) 是否大于 \(m\)，\(ans = [n\le m]\)

VI：球之间互不相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

我们发现我们在推 IV 时相当于是对空的盒子枚举，只要我们去掉枚举这一步就是 VI 了

\[ans=\frac{\sum_{j=0}^{i}(-1)^j \dbinom{i}{j}(i-j)^n}{i!} \]

VII：球全部相同，盒子之间互不相同。

隔板法直接求解，\(ans = \dbinom{n+m-1}{m-1}\)

VIII：球全部相同，盒子之间互不相同，每个盒子至多装一个球。

这个明显是最基础的 \(m\) 选 \(n\)，所以是 \(ans = \dbinom{n}{m}\)

X：球全部相同，盒子全部相同。

我们考虑问题可以转化为：将 \(n\) 拆成 \(m\) 个无序整数的方案数

直接做好像比较困难，那么我们可以根据 Ferrers 图 来转化

\[\begin{align} ans&=p(n,m)\\ &=\prod_{j=1}^{n}\frac{1}{1-x^j} \end{align} \]

然后考虑使用 付公主的背包 同款做法来求即可

XI：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至多装一个球。

和 V 同理，\(ans = [n\le m]\)

XII：球全部相同，盒子全部相同，每个盒子至少装一个球。

这个就相当于让我们把 X 那里的自然数变为正整数，要求每个盒子都要有起码一个球

这种情况下结果很明显是 \(p_{n-m,m}\)