【学习笔记】 - 基础数据结构 :Link-Cut Tree(进阶篇)
前言
-
某题解:
LCT
能把任何优雅的题目变成暴力 -
某题解:所有能用树剖做的题
LCT
都能做
LCT
没题写可以去写树剖和一些线段树合并的题练手
LCT
的概念
原本的树剖是对树进行剖分,剖分为重边和轻边
LCT则是对于树分为虚边和实边,特殊的,LCT可以没有虚边(例:银河英雄传说v2)
单独被包含在一个实链里的点称作孤立点
在树剖中,我们使用线段树/树状数组来维护重链
在Link-Cut Tree
里我们使用一种更灵活地数据结构splay
来维护这些实链
splay
维护的是所有实边路径的中序遍历
每个实链都是一颗splay
每条实链之间都有一条虚边将其连接起来
x
的子节点其实是 x
在 splay
里的后继节点,而 x
的父节点其实是 x
在 splay
里的前驱节点
注意,这里 splay
本身也有父节点和子节点,但是 splay
里的父节点和子节点与原树的父节点和子节点没有任何关系
虚边用每个 splay
的根节点来维护
如下图,假设这里的右侧包含 x
和 r
节点的整颗 splay
的根节点为 r
,则虚边应该在splay
中记录为 r
的父节点,而非 x
的父节点
我们发现,对于虚边而言,子节点能够指向父节点,父节点却不知道子节点是谁
也就是说,路径用 splay
来维护,而路径与路径的关系用 splay
的根节点来维护
我们可以非常简单的把一条实边删掉,换成一条虚边,只要把父节点的后继修改即可
LCT
的基本操作
这里可以直接接上前面的学习笔记了
这里是上一篇
发现树剖代码太长了,给我恶心坏了
学个代码短点的能写树剖题的数据结构吧
前置知识
-
树链剖分
简介以及优缺点介绍
Link-Cut Tree
,也就是LCT
,一般用于解决动态树问题
Link-Cut Tree
可用于实现重链剖分的绝大多数问题,复杂度为\(O(n \log n)\),看起来比树剖的\(O(n \log^2 n)\)复杂度更小,但则不然,基于splay
实现的Link-Cut Tree
常数巨大(约11
倍常数),往往表现不如树剖
Link-Cut Tree
的代码往往比树剖少一些
动态树问题
维护一个森林,支持删除某条边,连接某条边,并保证加边/删边之后仍是森林
同时维护这个森林的一些信息
实链剖分
-
回顾重链剖分
-
按子树大小剖分整棵树并重新标号
-
此时树上形成了一些以链为单位的连续区间,用线段树进行区间操作
-
我们发现,诶重剖怎么是按子树大小来剖的,这也不能搞动态树啊
显然我们需要让剖分的链是我们指定的链,以便利用来求解
-
实链剖分
对于一个点连向它所有儿子的边,我们自己选择一条边进行剖分,我们称被选择的边为实边,其他边则为虚边。
我们称实边所连接的儿子为实儿子,实边组成的链称之为实链
选择实链剖分的最重要的原因便是因为实链是我们选择的,灵活且可变
正是它的这种灵活可变性,用
Splay
来维护这些实链
Link-Cut Tree
我们可以把 LCT
理解为用一些 Splay
来维护动态树剖并实现动态树上的区间操作
每条实链都建一个 Splay
维护整个链的区间信息
-
辅助树
我们认为一些
Splay
共同构成了一颗辅助树,每个辅助树都维护了一颗树,所有的辅助树构成了Link-Cut Tree
,维护了整个森林辅助树有很多性质
-
辅助树由多棵
Splay
组成,每棵Splay
都维护了树中一条严格在原树中「从上到下」深度单调递增的路径,且中序遍历这棵Splay
得到的点的深度序列单调递增 -
原本的树的每个节点与辅助树的
Splay
节点一一对应。 -
辅助树各棵
Splay
间并不独立。在LCT
中每棵Splay
的根节点的父亲节点指向原树中这条链的父亲节点(即链最顶端的点的父亲节点)。特殊的,这里的儿子认父亲,父亲却不认儿子,对应原树的一条 虚边
故每个连通块恰好有一个点的父亲节点为空
-
维护任何操作都不需要维护原树
辅助树可以在任何情况下拿出一个唯一的原树
只需维护辅助树即可
这是一颗原树
\(\gets\)
这是建出的辅助树
\(\gets\)
-
代码实现
这里只有 LCT
特有的几个操作
-
数组定义
fa[x] //x的父亲节点 son[x][2] //x的左右儿子 sz[x] //x的子树大小 rev[x] //x是否需要对儿子进行翻转
-
splay
操作和正常
splay
不同的是LCT
的每次splay
影响的所有点都必须是当前splay
中的钱而且在
splay
操作前必须把它的所有祖先全都pushdown
,因为LCT
不一定把哪个点应用splay
操作-
代码
inline bool isroot(int x){ return ((son[fa[x]][0]==x)||(son[fa[x]][1]==x)); } inline void splay(int x){ int y=x,z=0; st[++z]=y; while(isroot(y)){ st[++z]=y=fa[y]; } while(z){ push_down(st[z--]); } while(isroot(x)){ y=fa[x],z=fa[y]; if(isroot(y)) rotate((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y)?x:y); rotate(x); } push_up(x); }
-
-
access
操作LCT
最重要的操作,其他所有操作都要用到它含义是访问某节点,作用是对于访问的节点 \(x\) 打通一条从树根到 \(x\) 的实链
如果有其他实边与新的实链相连则改为轻边
可以理解为专门开辟一条从 \(x\) 到 \(root\) 的路径,用
splay
来维护这条路径-
实现方法
先把 \(x\) 旋转到所在
Splay
的根用 \(y\) 记录上一次的 \(x\) (初始化\(y=0\)),把 \(y\) 接到 \(x\) 的右儿子上
这样就把上一次的实链接到了当前实链下
它原来的右儿子(也就是
LCT
树中在 \(x\) 下方的点)与它所有的边自然变成了虚边记得
pushup
-
代码
inline void access(int x){ for(int y=0;x;x=fa[y=x]) splay(x), rc=y,push_up(x); }
-
-
换根操作
作用是把某个节点变成树根(这里的根指的是整颗
LCT
的根)再加上
access
操作就能方便的提取出LCT
上两点之间距离提取\(u\)到\(v\)的路径只需要
toroot(u),access(v)
,然后\(v\)所在的Splay
对应的链就是\(u\)到\(v\)的路径-
实现方法
先
access
一下,这样 \(x\) 就一路打通到了根,然后再splay(x)
,由于x
是这条实链最下面的点,所以 \(x\) 的splay
的右儿子是空的,左儿子是它上面所有点因为
splay
是支持区间翻转的,所以只要给x打个翻转标记就翻转到根了 -
代码
inline void toroot(int x){ access(x); splay(x); reserve(x); }
-
-
link
操作作用是链接两个辅助树,对于
link(u,v)
,表示 \(u\) 所在的辅助树和 \(v\) 所在的辅助树-
实现方法
只需要先
toroot(u)
,然后记fa[u]=v
就可以了,就是把一整颗辅助树连到另一个点上 -
代码
inline void link(int x,int y){ toroot(x); if(Find(y)!=x) fa[x]=y; }
-
-
cut
操作这个操作作用是切断某条边
-
实现方法
先分离出 \(x\) 到 \(y\) 的这条链
我们假设切断的点一定是相邻的(不相邻的特判掉),然后把 \(y\) 的左儿子(也就是
LCT
中 \(y\) 的父亲)与 \(y\) 的边断掉就好了 -
代码
inline void split(int x,int y){ toroot(x); access(y); splay(y); } inline int Find(int x){ access(x); splay(x); while(lc) push_down(x),x=lc; splay(x); return x; } inline void cut(int x,int y){ toroot(x); if(Find(y)==x&&fa[y]==x&&!son[y][0]){ fa[y]=son[x][1]=0; push_up(x); } }
-
完整代码
点击查看代码
#define lc son[x][0]
#define rc son[x][1]
int fa[N],son[N][2],val[N],ans[N],st[N];
bool rev[N];
inline bool isroot(int x){
return ((son[fa[x]][0]==x)||(son[fa[x]][1]==x));
}
inline void push_up(int x){
ans[x]=ans[lc]^ans[rc]^val[x];
}
inline void reserve(int x){
int t=lc;
lc=rc;rc=t;
rev[x]^=1;
}
inline void push_down(int x){
if(rev[x]){
if(lc)reserve(lc);
if(rc)reserve(rc);
rev[x]=0;
}
}
inline void rotate(int x){
int y=fa[x],z=fa[y],k=son[y][1]==x,w=son[x][!k];
if(isroot(y))
son[z][son[z][1]==y]=x;
son[x][!k]=y;
son[y][k]=w;
if(w)
fa[w]=y;
fa[y]=x;fa[x]=z;
push_up(y);
}
inline void splay(int x){
int y=x,z=0;
st[++z]=y;
while(isroot(y)){
st[++z]=y=fa[y];
}
while(z){
push_down(st[z--]);
}
while(isroot(x)){
y=fa[x],z=fa[y];
if(isroot(y))
rotate((son[y][0]==x)^(son[z][0]==y)?x:y);
rotate(x);
}
push_up(x);
}
inline void access(int x){
for(int y=0;x;x=fa[y=x])
splay(x),
rc=y,push_up(x);
}
inline void toroot(int x){
access(x);
splay(x);
reserve(x);
}
inline int Find(int x){
access(x);
splay(x);
while(lc)
push_down(x),x=lc;
splay(x);
return x;
}
inline void split(int x,int y){
toroot(x);
access(y);
splay(y);
}
inline void link(int x,int y){
toroot(x);
if(Find(y)!=x)
fa[x]=y;
}
inline void cut(int x,int y){
toroot(x);
if(Find(y)==x&&fa[y]==x&&!son[y][0]){
fa[y]=son[x][1]=0;
push_up(x);
}
}
signed main(){
int n,m;FastI>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;++i)
FastI>>val[i];
while(m--){
int opt,x,y;
FastI>>opt>>x>>y;
if(opt==0){
split(x,y);
FastO<<ans[y]<<endl;
}
else if(opt==1){
link(x,y);
}
else if(opt==2){
cut(x,y);
}
else if(opt==3){
splay(x);
val[x]=y;
}
}
}
进阶一点的操作/配套题目
-
P1501 [国家集训队] \(\text{Tree II}\)
依然是链操作,但是有区间加法和区间乘法操作
这里参考了动态树大师
FlashHu
的题解-
区间加法
先用
spilt
操作把x
到y
的链分离出来然后整体直接加上
lazy
标记即可,并且在pushdown
操作时额外加入推平操作即可核心代码也很简单
inline void push_add(int x,int c){ (val[x]+=c*sz[x])%=51061; (v[x]+=c)%=51061; (lazy_add[x]]+=c)%=51061; }
在
pushdown
操作翻转前加入以下代码if(lazy_add[x]){ push_add(lc,lazy_add[x]), push_add(rc,lazy_add[x]), lazy_add[x]=0; }
-
区间乘法
也是先用
spilt
操作分离,然后挂lazy
标记,pushdown
操作加入乘法标记注意要先
pushdown
乘法的lazy
标记,再pushdown
加法的核心代码
inline void push_mul(int x,int c){ (val[x]*=c)%=51061; (v[x]*=c)%=51061; (lazy_mul[x]*=c)%=51061; (lazy_add[x]*=c)%=51061; }
在
pushdown
操作内pushdown
加法前加入以下代码if(lazy_mul[x]!=1){ push_mul(lc,lazy_mul[x]), push_mul(rc,lazy_mul[x]), lazy_mul[x]=1; }
那么就非常好搞了
核心代码都在上面了
-
-
维护两点是否连通,但是包含了断边操作和连边操作
这样普通的并查集就不好维护了,但是可以考虑使用
LCT
来维护维护方法就是直接对两点进行
Find
,如果Find
的结果相同那就是联通的-
核心代码
if(opt=="Q"){ FastO<<((Find(x)==Find(y))?"Yes":"No")<<endl; }
-
-
和上一题是双倍经验,基本区别不大
核心代码和上面一样
-
这道题与一般的
LCT
似乎有一点不同给的不是点权,那怎么办呢
错误思考示范
诶树剖的时候好像也有这个问题,是不是可以参考树剖
用儿子节点记录其到其父亲的边权,然后云云
但是这样有个问题,就是说
LCT
使用splay
维护的,splay
是会破坏原本的父子关系的那么这个做法宣告破产了wwwww
根据
FalshHu
的讲解,我们可以得知有两种解法-
把边置于
LCT
外,然后在LCT
节点中维护父边和重子边的编号,需要更新信息时从外部获取但是这种方法有一个问题:需要在
access
操作,Link
操作,Cut
操作都进行修改,很麻烦 -
建立额外的节点
我们可以建立额外的表示边的节点,然后把表示点的节点的权值都设为\(0\)
这样我们就可以把原本的边权转化为点权来让
LCT
去维护此时普通的
Link
和Cut
都存在一些问题Link
和Cut
操作只能添加/删除一条边,而不能删除代表边权的边解决方法也很简单,直接
Link
/Cut
两次即可-
核心代码
link(a[i].x,a[i].id); link(a[i].id,a[i].y);
-
我们通常选择建立代表边的节点,也就是第二种方法
在本题中建立边的方式如下
for(int i=1;i<n;++i){ FastI>>x>>y>>val[i+n]; link(x,i+n); link(y,i+n); }
这里的求
max
后取反如何维护呢?我们发现只要取min
即可,这样取相反数后的结果就是max
那么这道题就非常容易的做出来了
-
-
树剖板子题,不用LCT也能写但是这里用的LCT
需要边权转点权
-
- 不断加边,判环,取较优者。
LCT
动态维护生成树(边权的最大值最小),似乎不是很好维护删边(因为不能对于每次删除都进行一次最小生成树,不然复杂度爆炸了)但是本题只有删边操作,所以我们可以先对操作离线,然后倒过来变为加边
先把所有边都删掉,这里保证了任何时刻图都是联通的,所以就可以来离线完成
如何加入边呢
在加入一条边之后会形成一个环,此时从任意一点进入环,从另一点出环,可以从环上两个方向走,那么最优解总可以避开最长的一条边
我们先
split(x,y)
提取出x
到y
的最大权值,然后看加入的边,如果比原来的最大权值小就可以直接断掉原来的最大权值那条边这里直接平衡树查找就行,所以我觉得map更好做其实
在倒序跑完最小生成树之后就可以直接维护了
for(int i=q-1;i>=0;--i){ int x=vec[i].a,y=vec[i].b; split(x,y); if(vec[i].k==1){ sta.push(T[ans[y]].val); } else{ if(T[vec[i].num].val<T[ans[y]].val){ cut(T[ans[y]].s,j+n); cut(ans[y]+n,T[ans[y]].son); link(x,vec[i].num+n); link(vec[i].num+n,y); } } }
这里的
sta
用于记录答案 -
坏了,要维护子树的
siz
了,我们优秀的LCT只能比较容易的维护链信息而弱于子树信息但是还要动态加边所以要用LCT,不太能直接树剖
所以我们需要对LCT进行一定修改使其适于子树操作
我们按照对链剖分的方式把子树分为虚子树和实子树,其中实子树就是一条实链,可以直接通过
splay
获取那么瓶颈主要就在虚子树上(因为已知实子树的信息,只要知道虚子树的信息和就可以求出整个子树的信息了)
我们这里设虚子树
siz
为si[x]
,整棵子树的siz
为s[x]
考虑对原本的操作进行修改
-
splay
操作这一操作基于
splay
树且只会修改在splay
树中的相对位置,众所周知splay
树中的相对位置对于虚子树是不会有任何影响的,所以不需要修改 -
access
操作access
操作的含义是作用是对于访问的节点 \(x\) 打通一条从树根到 \(x\) 的实链然后会修改实边虚边,所以会对虚子树产生影响,得到一个虚儿子,失去一个虚儿子
直接改就行
inline void access(int x){ for(int y=0;x;x=fa[y=x]){ splay(x); si[x]+=s[rc]; si[x]-=s[y]; rc=y; pushup(x); } }
和普通 access 操作的对比
这是普通的
access
inline void access(int x){ for(int y=0;x;x=fa[y=x]){ splay(x); rc=y; pushup(x); } }
不同点只是
si
加上原来右儿子的s
,再减去新的右儿子的s
-
toroot
操作换根,但是我们发现
toroot
只是在实链上的翻转,所以对虚子树没有影响不用改
-
findroot
操作这显然没影响,并没有改变树的形态
-
split
操作分离操作
这里实现时只是调用了
toroot(x),access(y),splay(y);
三个函数而有影响的
access
操作我们已经在前面改了,所以这个没有影响 -
link
操作连边操作
当连接一条边时,虚子树的信息会发生改变(因为多了一个虚边)
那么
s[y]
和si[y]
都加上s[x]
就行但是这里只更新了
y
,y
的祖先没更新,所以会寄只要先把
y
转到根,这样y
就没祖先了inline void link(int x,int y){ toroot(x);access(y);splay(y); fa[x]=y;si[y]+=s[x]; pushup(y); }
-
cut
操作断边操作
cut
操作会断掉一条实边,不会影响虚子树,建议不理 -
pushup
操作这个直接把虚子树和实子树加起来就行
inline void pushup(int x){ s[x]=s[lc]+s[rc]+si[x]+1; }
回过头来看这道题,发现这是板子
对于操作2,询问的是断掉
(x,y)
之后x
和y
的子树大小乘积直接做就行
-
核心代码
if(opt=='A'){ link(x,y); } else{ cut(x,y); FastO<<(s[x])*(s[y])<<endl; link(x,y); }
-
-
一道用LCT来写比较有思维含量(就是没那么裸)的题目
首先我们把一个弹力装置与其对应的可以弹到的装置当做一条边,然后设一个虚拟源点\(n+1\),当被弹飞时直接弹到\(n+1\)即可
因为有修改弹力的操作,所以需要断边和连边
查询走几次会被弹飞可以直接查询当前所在点到 \(n+1\) 的距离,然后将结果减 \(1\) 即可
这里可以直接设每个节点的点权都为 \(1\)
-
核心代码如下
点击查看代码
signed main(){ fire("data"); FastI>>n; for(int i=1;i<=n;i++) val[i]=1; for(int i=1;i<=n;i++){ FastI>>T[i]; link(i,((i+T[i])>n)?(n+1):(i+T[i])); } FastI>>m; while(m--){ int opt,x,y; FastI>>opt>>x; x+=1; if(opt==1){ split(x,n+1); FastO<<ans[n+1]<<endl; } if(opt==2){ FastI>>y; cut(x,(((x+T[x])>n)?(n+1):(x+T[x]))); link(x,((x+y)>n)?(n+1):(x+y)); T[x]=y; } } }
-
-
维护树上染色
-
题解是这样说的
我们考虑把连接不同色点的边权值设为1,连接同色的点的边权设为0,这样我们就可以把问题转化为查询这条路径上所有的边权和,你要输出的就是这个答案加一
对于维护,我们对每个splay节点一个最左端点的值和最右端点的颜色,这样,对于它的父亲节点,就可以很轻松地找到其前驱与后继的颜色,这样便可以累计它跟前驱后继所连边的权值和了。
前驱=左儿子最右端点,后继=右儿子最左端点
题解似乎已经说的很明白了,这里就说一下自己的思路
首先我们发现这道题需要维护的是从 \(a\) 到 \(b\) 的颜色段数量而不是颜色数量,所以不能主席树直接维护
而颜色端我们只需要考虑两个颜色端是否相同即可
因此我们可以用
LCT
自带的splay
维护路径内的颜色段个数和链两端的颜色,在连接两条链时直接减去其贡献即可 -
-
LCT维护颜色的经典题目,只要直接开\(\text C\)棵
LCT
,每颗都维护对应颜色的森林就可以了然后接下来就非常板了,可以直接做
-
-
题意
维护一棵树,树上每个点有 \(3\) 个输入端和至多 \(1\) 个输出端(往树的深度更小的地方连接的)。
定义\(\text{val}_i\)为节点 \(i\) 的权值,\(\text{sum}_i\)为节点 \(i\) 权值为 \(1\) 的个数
\[\text{val}_i=\begin{cases}1&\text{sum}_{i}≥2\\0&\text{Others}\end{cases} \]要求动态修改叶子结点,并且可以在修改后询问节点 \(1\) (根节点) 的权值。
-
思路
按照题意暴力模拟一手,复杂度\(O(n^2 \log n)\),能拿 \(10\) 分首先找规律起手,发现每次叶子节点修改改变的都会是一个从修改点开始向上延伸的的一个连续区间
所以就可以通过LCT搞出这个链的最上面的点,然后用splay区间修改的方式进行链修改,进而解决这个问题
然后我们发现一个规律
-
在一个叶子结点从\(1\)变成\(0\)的时候,只有其向上的路径内\(\text{sum}_i=2\)的时候才会改变
-
在一个叶子结点从\(0\)变成\(1\)的时候,只有其向上的路径内\(\text{sum}_i=1\)的时候才会改变
我们可以求出这个 \(\text{sum}\) 全部为 \(2\) 或者全部为 \(1\) 的从上到下的链的起点,然后在 splay 里面修改就行了
可以二分,维护一个他下面的 \(sum≠2\) 和 \(sum≠1\) 的点的个数,然后在
splay
里面二分即可 -
-
LCT
在维护桥的时候需要使用dfs
,而在维护割点的时候则需要使用圆方树
-
维护桥的板子: P2542 [AHOI2005] 航线规划
-
维护割点的板子: P5622 [DBOI2019] 巫女的职责
两个结合起来还有个板子 P5489 EntropyIncreaser 与 动态图
后记
这里的题单只放了我会做并且已做的题
题目 | 对应知识点 | 链接 |
---|---|---|
P4847 银河英雄传说V2 | 链操作 | link |
P1501 [国家集训队] Tree II | 链操作 | link |
P3950 部落冲突 | 维护两点联通性 | link |
P4312 [COI2009] OTOCI | 链操作+维护两点连通性 | link |
P2147 [SDOI2008] 洞穴勘测 | 维护两点连通性 | link |
[POJ3237] 树的维护 | 边权转点权 | link |
P4114 Qtree1 | 边权转点权 | link |
P4172 [WC2006] 水管局长 | 维护生成树 | link |
P4219 [BJOI2014] 大融合 | 维护子树信息 | link |
P3203 [HNOI2010]弹飞绵羊 | 建立虚拟节点 | link |
P2486 [SDOI2011] 染色 | 维护树上染色 | link |
P2173 [ZJOI2012]网络 | 维护树上染色 | link |
P4332 [SHOI2014] 三叉神经树 | 维护链信息 | link |
这里的题单是感觉比较经典/容易上手的题目