2.29闲话 & solution 『再一分钟/再一秒钟/终会抵达幻想的尽头』

下面是学习笔记，但是似乎应该当做solution

想要省选的时候带点东西送给学长，但是看了看似乎不够。。。

。

发现还是对于LCT不够了解，所以又开了一篇博客

LCT 的概念

原本的树剖是对树进行剖分，剖分为重边和轻边

LCT则是对于树分为虚边和实边，特殊的，LCT可以没有实边(例：银河英雄传说v2)

单独被包含在一个实链里的点称作孤立点

在树剖中，我们使用线段树/树状数组来维护重链

在Link-Cut Tree里我们使用一种更灵活地数据结构splay来维护这些实链

splay维护的是所有实边路径的中序遍历

每个实链都是一颗splay

每条实链之间都有一条虚边将其连接起来

x 的子节点其实是 x 在 splay 里的后继节点，而 x 的父节点其实是 x 在 splay 里的前驱节点

注意，这里 splay 本身也有父节点和子节点，但是 splay 里的父节点和子节点与原树的父节点和子节点没有任何关系

虚边用每个 splay 的根节点来维护

如下图，假设这里的右侧包含 x 和 r 节点的整颗 splay 的根节点为 r，则虚边应该在splay中记录为 r 的父节点，而非 x 的父节点

我们发现，对于虚边而言，子节点能够指向父节点，父节点却不知道子节点是谁

也就是说，路径用 splay 来维护，而路径与路径的关系用 splay 的根节点来维护

我们可以非常简单的把一条实边删掉，换成一条虚边，只要把父节点的后继修改即可

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LCT 的基本操作

这里可以直接接上前面的学习笔记了

戳这里

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进阶一点的操作/配套题目

• P1501 [国家集训队] \(\text{Tree II}\)

  依然是链操作，但是有区间加法和区间乘法操作

  这里参考了动态树大师FlashHu的题解

  • 区间加法

    先用 spilt 操作把 x 到 y 的链分离出来

    然后整体直接加上 lazy 标记即可，并且在pushdown操作时额外加入推平操作即可

    核心代码也很简单

    inline void push_add(int x,int c){
        (val[x]+=c*sz[x])%=51061;
        (v[x]+=c)%=51061;
        (lazy_add[x]]+=c)%=51061;
    }
    

    在pushdown操作翻转前加入以下代码

    if(lazy_add[x]){
        push_add(lc,lazy_add[x]),
        push_add(rc,lazy_add[x]),
        lazy_add[x]=0;
    }
    

  • 区间乘法

    也是先用 spilt 操作分离,然后挂 lazy 标记，pushdown 操作加入乘法标记

    注意要先 pushdown 乘法的 lazy 标记，再 pushdown 加法的

    核心代码

    inline void push_mul(int x,int c){
        (val[x]*=c)%=51061;
        (v[x]*=c)%=51061;
        (lazy_mul[x]*=c)%=51061;
        (lazy_add[x]*=c)%=51061;
    }
    

    在pushdown操作内pushdown加法前加入以下代码

    if(lazy_mul[x]!=1){
        push_mul(lc,lazy_mul[x]),
        push_mul(rc,lazy_mul[x]),
        lazy_mul[x]=1;
    }
    

  那么就非常好搞了

  核心代码都在上面了

• P3950 部落冲突

  维护两点是否连通，但是包含了断边操作和连边操作

  这样普通的并查集就不好维护了，但是可以考虑使用 LCT 来维护

  维护方法就是直接对两点进行 Find ，如果 Find 的结果相同那就是联通的

  • 核心代码

    if(opt=="Q"){
        FastO<<((Find(x)==Find(y))?"Yes":"No")<<endl;
    }
    

• P2147 [SDOI2008] 洞穴勘测

  和上一题是双倍经验，基本区别不大

  核心代码和上面一样