【学习笔记】- 动态规划基础：状态压缩

喵喵放了状压的视频，跟着写了个学习笔记，不过话说还在更新中诶，先发出来真的好吗

一般用于解决棋盘式问题，是基于连通性的dp

用一个集合的格式来把 dp 问题分解掉

这里用例题来讲解状压

• 骑士/互不侵犯

  • 状态表示

    \(f_{i,j,s}\)表示前\(i\)行已经放完，已经放了\(j\)个棋子，同时最后一行的状态是\(s\)

    • 集合

      所有只摆在前\(i\)行，已经摆了\(j\)个国王，同时第 \(i\) 行摆放的状态是 \(s\) 的所有方案的集合

      此处的\(s\)是一个二进制数，其中\(0\)表示没有国王，\(1\)表示有国王

    • 属性

  • 状态计算

    对应的是一个集合划分的过程

    转移到\(f_{i,j,s}\)的条件是

    1. 第\(i-1\)行内部不能有两个\(1\)相邻

    2. 第\(i-1\)行和第\(i\)行之间也不能相互攻击到

    用\(a\)表示上一行的状态，\(b\)表示这一行的状态

    唔,由此来看满足的条件也就是

    (a&b)==0 且 (a|b)不能有两个相邻的1

    • 转移方法

      已经摆完了前排且第\(i\)排的状态是\(a\)，第\(i-1\)排的状态是\(b\)，已经摆完了\(j\)的国王的所有方案 可以转化为 已经摆完了前\(i-1\)排，并且第\(i-1\)排的状态是\(b\)，已经摆了j-count(a)个国王(这里的count是二进制中\(i\)的个数)的所有方案

      也就是说f[i,j,b]可以从f[i-1,j-count(a),b]转移来

      复杂度虽然是指数级的，但是我们发现\(n<9\)所以可以通过此题

  • 代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define int long long
    using namespace std;
    const int N=12,M=1<<10,K=110;
    int n,m;
    vector<int> state,head[M];
    int id[M],cnt[M],f[N][K][M];
    bool check(int state){
        for(int i=0;i<=n;i++){
            if((state>>i&1)&&(state>>i+1&1))
                return false;
        }
        return true;
    }
    int count(int state){
        int res=0;
        for(int i=0;i<n;i++) res+=state>>i&1;
        return res;
    }
    signed main(){
        cin>>n>>m;
        for(int i=0;i<(1<<n);i++){
            if(check(i)){
                state.push_back(i);
                cnt[i]=count(i);
            }
        }
        for(int i=0;i<state.size();i++){
            for(int j=0;j<state.size();j++){
                int a=state[i],b=state[j];
                if(((a&b)==0)&&check(a|b))
                    head[i].push_back(j);
            }
        }
        f[0][0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n+1;i++){
            for(int j=0;j<=m;j++){
                for(int a=0;a<state.size();a++){
                    for(int b:head[a]){
                        int c=cnt[state[a]];
                        if(j>=c){
                            f[i][j][a]+=f[i-1][j-c][b];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        cout<<f[n+1][m][0]<<"\n";
    }