2.19 闲话 & 学习笔记 『 望向这片懵懂的土地/嘈杂念想充斥着思绪 』

昨天没发闲话，今天事情太乱来不及写学术内容放昨天的学术内容吧

今天去面试，感觉说的跟个💩一样，真能过吗

晚上看电影，去【数据删除】机房找【数据删除】，结果得知【数据删除】的【数据删除】被【数据删除】了

在二机房看完那个电影之后回一机房接着看长安三万里，然后忘记写闲话了，随便糊上去一个吧

没改完模拟赛题，先咕着

\(\text T3\)题解的复杂度分析出问题了诶，其实正解复杂度和主席树几乎相同，但是主席树有大常数无法通过此题呢

多项式乘法逆

唔，我们可以用递归求解此题

显然当递归到 \(n=0\) 的时候，可直接求出 \(\text G(x)\) 中常数项的系数就是 \(\text F(x)\) 中 \(0\) 次项系数的逆元

否则

\[\text F(x)*\text H(x)\equiv1\pmod{x^{\lfloor\frac n2\rfloor}} \]

由于\(F(x)*G(x)\equiv1\pmod{x^n}\)可知

\[\text F(x)*\text G(x)\equiv1\pmod{x^{\lfloor\frac n2\rfloor}} \]

将两式相减，得到

\[\text F(x)*(\text G(x)-\text H(x))\equiv0\pmod {x^{\lfloor\frac n2\rfloor}} \]

把\(\text{F(x)}\)去掉

\[\text G(x)-\text H(x)\equiv0\pmod{x^{\lfloor\frac n2\rfloor}} \]

现在要求出一个满足与\(\text F(x)\)卷积模\(x^n\)余\(1\)的多项式

那么就需要让 \(\pmod {x^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}}\) 变成 \(\pmod {x^{n}}\)

两边同时套一个平方，这样原式变为

\[(\text G(x)-\text H(x))^2\equiv0\pmod{x^{n}} \]

直接上完全平方公式

\[\text G(x)^2+2\text G(x)\text H(x)-\text H(x)^2\equiv0\pmod{x^{n}} \]

这样然后再把\(\text F(x)\)卷积上去

\[\text F(x)\text G(x)^2+2\text G(x)\text H(x)\text F(x)-\text F(x)\text H(x)^2\equiv0\pmod{x^{n}} \]

然后就可以把\(\text G(x)\)单独给提出来了

\[\text F(x)\text G(x)^2+2\text G(x)\text H(x)\text F(x)-\text F(x)\text H(x)^2\equiv0\pmod{x^{n}} \]

有一个已知条件\(\text F(x)\text G(x)\equiv1\pmod{x^{n}}\)

那么就可以化简一下式子了

\[\text G(x)+2\text H(x)-\text F(x)\text H(x)^2\equiv0\pmod{x^{n}} \]

左右可以移项

\[\text G(x)+2\text H(x)\equiv\text F(x)\text H(x)^2\pmod{x^{n}} \]

后面的\(\text F(x)\text H(x)^2\)可以用 \(\small\text{NTT}\) 求出后面的结果即可