2.14闲话 & 学习笔记『不独九州五岳/帝王将相见苍茫』
『龙震于疆/万里宁壤/天地皆可往』
来衡水路上听说艾尔登法环0.5折史低，但是路上没电脑，而且似乎是假的
HS_xh年后没来集训，语录断更了
今天没时间了，集训纪要明天更
K8怎么不来集训了？？？
我水杯容量怎么这么少
打算学 \(\text{NTT}\)，所以先开个前置的知识
『原根学习笔记』
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前置知识
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费马小定理
若 \(p\) 为素数， \(\gcd(a, p) = 1\) ，则 \(a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}\) 。
对于任意整数 \(a\) ，有 \(a^p \equiv a \pmod{p}\) 。
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欧拉定理
若 \(\gcd(a, m) = 1\) ，则 \(a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}\)
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阶
满足同余式 \(a^n \equiv 1 \pmod m\) 的最小正整数 \(n\) 称作 \(a\) 模 \(m\) 的阶，记作 \(\delta_m(a)\)
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性质
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\(a,a^2,a^3,a^4 \cdots a^{\delta_m(a)}\) 模 \(m\) 两两不同余
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若 \(a^n \equiv 1 \pmod m\) ，则 \(\delta_m(a)\mid n\) .
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若 \(a^p\equiv a^q\pmod m\) ，则 \(p\equiv q\pmod{\delta_m(a)}\) .
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设 \(m\in\N^{*}，a,b\in\Z ，\gcd(a,m)=\gcd(b,m)=1\) ，则
\[\delta_m(ab)=\delta_m(a)\delta_m(b) \]的充要条件是
\[\left(\delta_m(a), \delta_m(b)\right)=1 \] -
设 \(k\in\N，m\in\N^{*}，a\in\Z，\gcd(a,m)=1\)
则
\[\delta_m(a^k)=\dfrac{\delta_m(a)}{\left(\delta_m(a),k\right)} \]
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原根
设 \(m\in\N^{*}，g\in \Z\) . 若 \(\gcd(g,m)=1\) ，且 \(\delta_m(g)=\varphi(m)\) ，则称 \(g\) 为模 \(m\) 的原根
即 \(g\) 满足 \(\delta_m(g) = \left|{\Z}_m^* \right| = \varphi(m)\) . 当 \(m\) 是质数时，我们有 \(g^i \bmod m,\,0 \lt i \lt m\) 的结果互不相同。
以上原根的定义全部搬自\(\text{OI-wiki}\)
人话说就是对于 \(m\in\N^{*}，g\in \Z\) 如果 \(a\) 对于 \(\bmod\ m\) 的阶等于\(\varphi(m)\)，那么称 \(a\) 为模 \(m\) 的一个原根
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判断原根
设 \(m \geqslant 3, \gcd(g,m)=1\) ，则 \(g\) 是模 \(m\) 的原根的充要条件是，对于 \(\varphi(m)\) 的每个素因数 \(p\) ，都有
\[g^{\frac{\varphi(m)}{p}}\not\equiv 1\pmod m \] -
原根个数
若一个数 \(m\) 有原根，则它原根的个数为 \(\varphi(\varphi(m))\)
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原根存在
一个数 \(m\) 存在原根当且仅当 \(m=2,4,p^{\alpha},2p^{\alpha}\) ，其中 \(p\) 为奇素数， \(\alpha\in{\N}^{*}\) .
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最小原根的范围估计
素数 \(p\) 的最小原根 \(g_p=\Omega(\log p)\) 且 \(g_p=O\left(p^{0.25+\epsilon}\right)\) ，其中 \(\epsilon>0\) .
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