1.10闲话

推歌：来自瓦纳海姆/洛天依 by litterzy

换成了之前天依的官方账号的头像，这样我就是官方了

哎呀我破防了我饭卡丢了，哦我体测有分了我又不破防了，什么我饭卡套是天依但是丢了我又破防了，你说得对但是推出来两道莫反题的式子我不破防了，啊我有一道题复杂度假了过不去我又破防了，我去晓飞谷不让我看高一大佬讲课的课件我破防了，但是我好像不需要看不破防了，我到底破防还是不破防呢？

昨天有点急了，但是我其实不是特别讨厌禾念，别的不说至少禾念有钱是真砸啊之前基本没啥收入(确实)的情况下还要升级一大堆声库之类的，联动一下还要被骂真的挺惨的，但是别的不说，B站接手以来疯狂圈钱就算了还不舍得吐，给我看破防了，但是没办法，毕竟现在B站接手之后禾念那边最开始一共5个人然后自从兔总走了之后到现在就只剩1个了，看得我破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了破防了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了恼了

不行，还得骂禾念，不骂不爽，骂B站会被当成蒙古上单然后被蜀黍制裁

• jzptab

题目名最看不懂的一集

开局钦定\(n\le m\)

\[\begin{align} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\text{lcm}(i,j) &=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\frac{ij}{\gcd(i,j)}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}{ij\frac 1k}{[\gcd(i,j)=k]}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\frac 1k\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac mk\rfloor}{ijk}{[\gcd(i,j)=1]}\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}i\sum_{j=1}^{\lfloor\frac mk\rfloor}{j}\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}i\sum_{j=1}^{\lfloor\frac mk\rfloor}{j}\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nk\rfloor}[i|d]\sum_{j=1}^{\lfloor\frac mk\rfloor}{[j|d]}\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{kd}\rfloor}ik\sum_{j=1}^{\lfloor\frac m{kd}\rfloor}{ik}\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{d=1}^{n}k^2\mu(d)\frac{\lfloor\frac n{kd}\rfloor(\lfloor\frac n{kd}\rfloor+1)}{2}\cdot\frac{\lfloor\frac m{kd}\rfloor(\lfloor\frac m{kd}\rfloor+1)}{2}\\ &=\sum_{k=1}^{n}k\sum_{d=1}^{n}k^2\mu(d)\frac{\lfloor\frac n{kd}\rfloor(\lfloor\frac n{kd}\rfloor+1)\cdot{\lfloor\frac m{kd}\rfloor(\lfloor\frac m{kd}\rfloor+1)}}{2}\\ \end{align} \]

推出式子来了，这不是\(O(n+m)\)吗，看看能不能做

\(T \le 10000\)

\(n,m\le 10000000\)

。。。。看起来不能

破防了，后面不会推了，换题

• 于神之怒加强版

求

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\gcd(i,j))^k \bmod (10^9+7) \]

老样子，钦定\(n\le m\)

好怪啊，化简一下

先不管后面的$ \bmod (10^9+7)$那么原式为

\[\begin{align} \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}(\gcd(i,j))^k &=\sum_{x=1}^{n}x^k\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}[\gcd(i,j)=x]\\ &=\sum_{x=1}^{n}x^k\sum_{i=1}^{\lfloor \frac nx\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac mx\rfloor}[\gcd(i,j)=1]\\ &=\sum_{x=1}^{n}x^k\sum_{i=1}^{\lfloor \frac nx\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac mx\rfloor}\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)\\ &=\sum_{x=1}^{n}x^k\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor \frac n{xd}\rfloor\lfloor \frac m{xd}\rfloor\\ &=\sum_{t=1}^{n}\lfloor \frac n{t}\rfloor\lfloor \frac m{t}\rfloor\sum_{x|t}^{n}x^k\mu(\frac tx)\\ \end{align} \]

你说得对但是前面的可以整除分块大力处理

你说得对如果暴力处理后面的 \(\sum\limits_{x|t}^{n}x^k\mu(\frac tx)\) 明显会 \(\text {TLE}\) 了 \(\text O(n \log n)\)

你说的对，但是乱设\(f(x)=x^k\)，我们发现

\[\begin{cases} f(x)*f(y)=x^k\times y^k=(xy)^k\\ f(xy)=(xy)^k \end{cases} \]

所以这个\(f\)是积性函数(

直接大力线性筛即可,搞个狄利克雷前缀和(好像别人都这么叫所以我也这么叫了)

那么代码非常明了，就不放了反正莫反的都差不多

• 一个人的数论

我去，标题党，题面和题目名毫无关联，举报了

简要题意: 求 \(f_d(n) \bmod (10^9+7)\)

其中 \(f_d(n)\) 为\(\sum\limits_{i=1}^{n}i^d[\gcd(i,n)=1]\)

什么奇怪的式子，看不懂啊，所以考虑化简

\[\begin{align} f_d(n)&=\sum\limits_{i=1}^{n}i^d[\gcd(i,n)=1]\\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{k|\gcd(i,n)}\mu(k)i^d\\ \end{align} \]

我去不愧是校内OJ上最后一题，不会化了，最困难的一集

哦我又会了

\[\begin{align} \sum\limits_{i=1}^{n}\sum_{k|\gcd(i,n)}\mu(k)i^d &=\sum_{k=1}^{n}\mu(k)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac nk\rfloor}{ik}^{d}\\ &=这回不会了 \end{align} \]

我去，拉格朗日插值破防了

下辈子再做吧

你说的对，但是上面这张图是B站个性装扮附带的头图而且65元