1.9闲话

推歌：世末积雨云/洛天依 by COPY

X_studio是什么？去查了一下

而且在在小冰大模型的驱动下，每个AI歌手均可在评论区秒回歌迷互动，具备超越演唱的完整能力。

禾念你去死吧天天搞这些东西adjhwakewyfrjdjbfcsaczasdasdasdawdas

每个AI歌手均可在评论区秒回歌迷互动？？？？

搞这个？？？？具备超越演唱的完整能力？？？？？中V迟早药丸

先是ACE收费，然后再是出了个这个什么玩应，然后又来一堆脑残粉之类的不知物种东西互骂，现在中V什么妖魔鬼怪都有，最破防的一天

我要是似了就是被气死的

换了博客地址，从luotianyi66ccff换成了Vsinger-LuoTianYi

直接的结果就是1.8 1.7 1.6 1.5的闲话在主页直接点进不去了，但是别的还能？？？？？

昨天的代码补上了，但是不是杜教筛因为我只看懂了杜教筛筛Mobius函数前缀和和欧拉函数前缀和但是看不懂别的

Code

$\text{Code}$

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,f=1,ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) { if(ch == '-') f = -f; ch = getchar(); }
	while(isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
	return x * f;
}
const int N=1e7+5;
int tot,mu[N],f[N],pri[N],T,g[N];
int sum[N],Mu[N];
bool vis[N];
// map<int,int> mapp;
// inline int S_mu(int x){
//     if(x<=N)  return sum[x];
//     if(mapp[x]) return mapp[x];
//     int ret=1;
//     for(int i=2,j;i<=x;i=j+1){
//         j=x/(x/i);
//         ret-=S_mu(x/i)*(j-i+1);
//     }
//     return mapp[x]=ret;
// }
// inline int S_phi(int x){
//     int ret=0,j;
//     for(int i=1;i<=x;i=j+1){
//         j=x/(x/i);
//         ret+=(S_mu(j)-S_mu(i-1))*(x/i)*(x/i);
//     }
//     return (ret-1)/2+1;
// }
signed main(){
    // freopen("1.in","r",stdin);
    for(register int i=2;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            pri[++tot]=i;
            g[i]=f[i]=sum[i]=1;
        }
        for(register int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<=N;j++){
            int x=pri[j]*i;
            vis[x]=1;
            if(i%pri[j]==0){
                g[x]=g[i];
                f[x]=f[i]+1;
                sum[x]=((g[x]==1)?1:(f[g[x]]==f[x]?-sum[g[x]]:0));
                break;
            }
            g[x]=i;f[x]=1;
            sum[x]=((f[i]==1)?(-sum[i]):(0));
        }
    }
    for(register int i=1;i<=N;i++) sum[i]+=sum[i-1];
	T=read();
	while(T--){
		int a=read(),b=read(),ans=0;
		int x=min(a,b);
		for(int i=1,j;i<=x;i=j+1){
			j=min(a/(a/i),b/(b/i));
			ans+=(sum[j]-sum[i-1])*(a/i)*(b/i);
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
}

约数个数和

设 $d(x)$ 为 $x$ 的约数个数，给定 $n,m$ ，求

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d (i j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)$

老样子，先化简这个式子

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d (i j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij)$

思考 $d(ij)$ 是啥

d (i j) = \sum_{x | i} \sum_{y | i} [gcd (i, j) = 1]

$d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|i}[\gcd(i,j)=1]$

证明:

设 $i,j$ 分别含有 $a,b$ 个质因子 $p$

那么 $i\times j$ 一共有 $a+b$ 个质因子，一共能选出 $0\sim a+b$ 共 $a+b+1$ 种结果

而 $\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|i}[\gcd(i,j)=1]$ 里一共有 $a+b+1$ 种结果

也就是 $x$ 中 $a$ 个， $y$ 中 $b$ 个和两个都为 $0$ 三种

那么等式成立

接下来就对其进行带入(钦定 $n<m$ )

\begin{aligned} (1) & \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} d (i j) & = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{x | i} \sum_{y | i} [gcd (x, y) = 1] \\ (2) & = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{x | i} \sum_{y | i} \sum_{d | gcd (x, y)} μ (d) \\ (3) & = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{x | i} \sum_{y | i} \sum_{d | gcd (x, y)} μ (d) \\ (4) & = \sum_{d = 1}^{n} \sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} \sum_{x = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{y = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} μ (d) \\ (5) & = \sum_{d = 1}^{n} \sum_{x = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} \sum_{y = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} ⌊ \frac{n}{x d} ⌋ ⌊ \frac{m}{y d} ⌋ μ (d) \\ (6) & = \sum_{d = 1}^{n} μ (d) (\sum_{x = 1}^{⌊ \frac{n}{d} ⌋} ⌊ \frac{n}{x d} ⌋) (\sum_{y = 1}^{⌊ \frac{m}{d} ⌋} ⌊ \frac{m}{y d} ⌋) \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^md(ij) &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|i}[\gcd(x,y)=1]\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|i}\sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{x|i}\sum_{y|i}\sum_{d|\gcd(x,y)}\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{n}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\sum_{x=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{n}\sum_{x=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\lfloor\frac n{xd}\rfloor\lfloor\frac m{yd}\rfloor\mu(d)\\ &=\sum_{d=1}^{n}\mu(d)(\sum_{x=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\lfloor\frac n{xd}\rfloor)(\sum_{y=1}^{\lfloor\frac md\rfloor}\lfloor\frac m{yd}\rfloor)\\ \end{align}$

你说得对，但是这样就能算了看起来，整除分块神力

数字表格

题面

Doris 刚刚学习了 fibonacci 数列。用 $f_i$ 表示数列的第 $i$ 项，那么

f_{0} = 0

$f_0=0$

f_{1} = 1

$f_1=1$

f_{n} = f_{n - 1} + f_{n - 2}

$f_n=f_{n-1}+f_{n-2}$

Doris 用老师的超级计算机生成了一个的表格，第i行第j列的格子中的数是 $f_{\gcd(i,j)}$ ，其中 $\gcd(i,j)$ 表示 $i,j$ 的最大公约数。Doris的表格中共有 $n×m$ 个数，她想知道这些数的乘积是多少。

答案对 $10^9+7$ 取模。

简要题意:

求

\prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{m} f_{gcd (i, j)}

$\prod^{n}_{i=1}\prod^{m}_{j=1}f_{\gcd(i,j)}$

\begin{aligned} (7) & \prod_{i = 1}^{n} \prod_{j = 1}^{m} f_{gcd (i, j)} & = \prod_{k = 1}^{n} {f_{k}}^{\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = k]} \\ (8) & = \prod_{k = 1}^{n} {f_{k}}^{\sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{k} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{k} ⌋} [gcd (i, j) = 1]} \\ (9) & = \prod_{k = 1}^{n} {f_{k}}^{\sum_{i = 1}^{⌊ \frac{n}{k} ⌋} \sum_{j = 1}^{⌊ \frac{m}{k} ⌋} \sum_{d | gcd (i, j)} μ (d)} \\ (10) & = \prod_{k = 1}^{n} {f_{k}}^{\sum_{d = 1}^{n} μ (d) ⌊ \frac{n}{k d} ⌋ ⌊ \frac{m}{k d} ⌋} \\ (11) & = \prod_{t = 1}^{n} {(\prod_{k | t} {f_{k}}^{μ (\frac{t}{k})})}^{⌊ \frac{n}{k d} ⌋ ⌊ \frac{m}{k d} ⌋} \end{aligned}

$\begin{align} \prod^{n}_{i=1}\prod^{m}_{j=1}f_{\gcd(i,j)} &=\prod_{k=1}^{n}{f_k}^{\sum^{n}_{i=1}\sum^{m}_{j=1}[{\gcd(i,j)=k}]}\\ &=\prod_{k=1}^{n}{f_k}^{\sum^{\lfloor\frac nk\rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor\frac mk\rfloor}_{j=1}[{\gcd(i,j)=1}]}\\ &=\prod_{k=1}^{n}{f_k}^{\sum^{\lfloor\frac nk\rfloor}_{i=1}\sum^{\lfloor\frac mk\rfloor}_{j=1}\sum_{d|\gcd{(i,j)}}\mu(d)}\\ &=\prod_{k=1}^{n}{f_k}^{\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\lfloor\frac n{kd}\rfloor\lfloor\frac m{kd}\rfloor}\\ &=\prod_{t=1}^{n}{(\prod_{k|t}{f_{k}}^{\mu(\frac tk)})}^{\lfloor\frac n{kd}\rfloor\lfloor\frac m{kd}\rfloor} \end{align}$

然后明显的可以直接筛筛筛了