1.5闲话

今天一共4张图图最多的一集

推歌:勾指起誓/洛天依 by ilem

突然发现自己的闲话风格受了别人很大影响,看了lxyt-415x和jijidawang导致开始写闲话,然后看了crimson和lxyt-415x的闲话导致开始放图,最开始推歌忘了和谁学的然后后来和HS_xh\jijidawang\crimson学的不放歌词了,唯一不变的就是只有我最菜

今天先不学平衡树,直接上莫比乌斯函数

但是很不好,OI-wiki说要先学数论分块和狄利克雷卷积,但是非常恼虽然数论分块有所了解但是狄利克雷卷积是个啥?而且看别人的博客好像也没提狄利克雷卷积那么因为OJ上面把这个放到了AC自动机之前所以肯定得学直接不管三七二十几直接上了

莫比乌斯函数

\(\mu\) 为莫比乌斯函数(\(\mathcal{Möbius}\))

  • 定义:

    \[\mu(n)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &n含有平方因子\\ (-1)^k &k为n的本质不同质因子个数\\ \end{cases} \]

    感觉定义上类似欧拉函数

    看起来这个式子很奇怪,所以用我浅薄的知识储备把它变成文字叙述如果错了请大佬指正

    首先当 \(n=1\)\(\mu(n) = 1\)

    然后用唯一分解定理可以得到 \(n=\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{c_i}\),如果 \(\exists\ c_i \ne 1(c_i \in \{c_1,c_2,\cdots,c_k \})\)\(\mu(n)=0\)

    否则 \(\mu(n)=(-1)^k\)

    看起来不是很难的样子

  • 性质:

    1. 对于任意正整数 \(n\)

      \[\sum_{d\mid n}\mu(d)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq 1\\ \end{cases} \]

      • 证明(几乎照搬\(\text{OI-wiki}\))

        假设

        \[\ n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i} \]

        \[n'=\prod_{i=1}^k p_i \]

        那么

        \[\begin{cases} \sum_{d\mid n}\mu(d) =\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i =(1+(-1))^k \\ \\ \sum_{d\mid n'}\mu(d) =\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i =(1+(-1))^k \end{cases} \]

        我们发现其实

        \[\sum_{d\mid n}\mu(d)=\sum_{d\mid n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i=(1+(-1))^k \]

        根据二项式定理,易知该式子的值在 \(k=0\)\(n=1\) 时值为 \(1\) 否则为 \(0\)

    2. 对于任意正整数 \(n\)

      \[\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n} \]

  • 实现:

    众所周知,线性筛可以求好多积性函数

    那么求\(\mathcal{Möbius}\)函数的方法就很显然了( \(\mathcal{Möbius}\)函数是积性函数 )

    线性筛

    class MoBIUS{
    public:
        int mu[MAXM],p[MAXM],tot;
        bool f[MAXM];
        void Mobius(int n){
            mu[1]=1;
            for(int i=2;i<=n;++i){
                if(!f[i])
                    p[++tot]=i,
                    mu[i]=-1;
                for(int j=1;(j<=tot&&i*p[j]<=n);++j){
                    f[i*p[j]]=1;
                    if(i%p[j]==0){
                        mu[i*p[j]]=0;
                        break;
                    }
                    mu[i*p[j]]=-mu[i];
                }
            }
        }
    }Mu;
    

那么有了求\(\mathcal{Möbius}\)函数的方法了,但是还是做不出来题怎么办

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所以选择学莫比乌斯反演

  • 莫比乌斯定理

    定义 \(g(n)\)\(f(n)\) 是定义在非负整数集合上的两个函数,并且满足条件

    \[g(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

    那么一定存在

    \[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

  • 证明

    image

    所以直接抄别人的,有公式做题就是快🤣🤣🤣

    通过定义证明:

    \(g(n)\)\(f(n)\) 的定义可得:

    \[g(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) = \sum_{i|\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\ f(i) \]

    \[\sum_{d|n}\mu(d)g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i) \]

    \[=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n) \]

    另一个式子:

    \(g(n)\)\(f(n)\) 满足:

    那么$$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)$$

    证毕

但是其实我看不懂

image

那么按理说该考虑做题了

所以你说得对但是我不会写我是菜狗第一道都没看懂

这里还有三张图

posted @ 2024-01-05 19:12  Vsinger_洛天依  阅读(25)  评论(4编辑  收藏  举报