1.5闲话

今天一共4张图图最多的一集

推歌：勾指起誓/洛天依 by ilem

突然发现自己的闲话风格受了别人很大影响，看了lxyt-415x和jijidawang导致开始写闲话，然后看了crimson和lxyt-415x的闲话导致开始放图，最开始推歌忘了和谁学的然后后来和HS_xh\jijidawang\crimson学的不放歌词了，唯一不变的就是只有我最菜

今天先不学平衡树，直接上莫比乌斯函数

但是很不好，OI-wiki说要先学数论分块和狄利克雷卷积，但是非常恼虽然数论分块有所了解但是狄利克雷卷积是个啥？而且看别人的博客好像也没提狄利克雷卷积那么因为OJ上面把这个放到了AC自动机之前所以肯定得学直接不管三七二十几直接上了

莫比乌斯函数

$\mu$ 为莫比乌斯函数( $\mathcal{Möbius}$ )

定义:

$\mu(n)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &n含有平方因子\\ (-1)^k &k为n的本质不同质因子个数\\ \end{cases}$
感觉定义上类似欧拉函数

看起来这个式子很奇怪，所以用我浅薄的知识储备把它变成文字叙述如果错了请大佬指正

首先当 $n=1$ 时 $\mu(n) = 1$

然后用唯一分解定理可以得到 $n=\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{c_i}$ ，如果 $\exists\ c_i \ne 1(c_i \in \{c_1,c_2,\cdots,c_k \})$ 则 $\mu(n)=0$

否则 $\mu(n)=(-1)^k$

看起来不是很难的样子
性质：
1. 对于任意正整数 $n$ ：
  
  $\sum_{d\mid n}\mu(d)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq 1\\ \end{cases}$
  - 证明(几乎照搬 $\text{OI-wiki}$ )
    
    假设
    
    $\ n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i}$
    $n'=\prod_{i=1}^k p_i$
    那么
    
    $\begin{cases} \sum_{d\mid n}\mu(d) =\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i =(1+(-1))^k \\ \\ \sum_{d\mid n'}\mu(d) =\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i =(1+(-1))^k \end{cases}$
    我们发现其实
    
    $\sum_{d\mid n}\mu(d)=\sum_{d\mid n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i=(1+(-1))^k$
    根据二项式定理，易知该式子的值在 $k=0$ 即 $n=1$ 时值为 $1$ 否则为 $0$ ，
2. 对于任意正整数 $n$
  
  $\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}$

实现：

众所周知，线性筛可以求好多积性函数

那么求 $\mathcal{Möbius}$ 函数的方法就很显然了( $\mathcal{Möbius}$ 函数是积性函数 )

线性筛

class MoBIUS{
public:
    int mu[MAXM],p[MAXM],tot;
    bool f[MAXM];
    void Mobius(int n){
        mu[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;++i){
            if(!f[i])
                p[++tot]=i,
                mu[i]=-1;
            for(int j=1;(j<=tot&&i*p[j]<=n);++j){
                f[i*p[j]]=1;
                if(i%p[j]==0){
                    mu[i*p[j]]=0;
                    break;
                }
                mu[i*p[j]]=-mu[i];
            }
        }
    }
}Mu;

那么有了求 $\mathcal{Möbius}$ 函数的方法了，但是还是做不出来题怎么办

所以选择学莫比乌斯反演

莫比乌斯定理

定义 $g(n)$ 和 $f(n)$ 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件

$g(n)=\sum_{d|n}f(d)$
那么一定存在

$f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)$
证明

所以直接抄别人的，有公式做题就是快🤣🤣🤣

通过定义证明：

由 $g(n)$ 和 $f(n)$ 的定义可得：

$g(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) = \sum_{i|\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\ f(i)$
$\sum_{d|n}\mu(d)g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i)$
$=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n)$
另一个式子：

当 $g(n)$ 和 $f(n)$ 满足：

那么 $f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)$

证毕