1.5闲话

今天一共4张图图最多的一集

推歌：勾指起誓/洛天依 by ilem

突然发现自己的闲话风格受了别人很大影响，看了lxyt-415x和jijidawang导致开始写闲话，然后看了crimson和lxyt-415x的闲话导致开始放图，最开始推歌忘了和谁学的然后后来和HS_xh\jijidawang\crimson学的不放歌词了，唯一不变的就是只有我最菜

今天先不学平衡树，直接上莫比乌斯函数

但是很不好，OI-wiki说要先学数论分块和狄利克雷卷积，但是非常恼虽然数论分块有所了解但是狄利克雷卷积是个啥？而且看别人的博客好像也没提狄利克雷卷积那么因为OJ上面把这个放到了AC自动机之前所以肯定得学直接不管三七二十几直接上了

莫比乌斯函数

\(\mu\) 为莫比乌斯函数(\(\mathcal{Möbius}\))

• 定义:

  \[\mu(n)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &n含有平方因子\\ (-1)^k &k为n的本质不同质因子个数\\ \end{cases} \]

  感觉定义上类似欧拉函数

  看起来这个式子很奇怪，所以用我浅薄的知识储备把它变成文字叙述如果错了请大佬指正

  首先当 \(n=1\) 时 \(\mu(n) = 1\)

  然后用唯一分解定理可以得到 \(n=\prod_{i=1}^{k}{p_i}^{c_i}\)，如果 \(\exists\ c_i \ne 1(c_i \in \{c_1,c_2,\cdots,c_k \})\) 则\(\mu(n)=0\)

  否则 \(\mu(n)=(-1)^k\)

  看起来不是很难的样子

• 性质：

  1. 对于任意正整数 \(n\) ：

     \[\sum_{d\mid n}\mu(d)= \begin{cases} 1&n=1\\ 0&n\neq 1\\ \end{cases} \]

     • 证明(几乎照搬\(\text{OI-wiki}\))

       假设

       \[\ n=\prod_{i=1}^k{p_i}^{c_i} \]
       \[n'=\prod_{i=1}^k p_i \]

       那么

       \[\begin{cases} \sum_{d\mid n}\mu(d) =\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i =(1+(-1))^k \\ \\ \sum_{d\mid n'}\mu(d) =\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i =(1+(-1))^k \end{cases} \]

       我们发现其实

       \[\sum_{d\mid n}\mu(d)=\sum_{d\mid n'}\mu(d)=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}\times(-1)^i=(1+(-1))^k \]

       根据二项式定理，易知该式子的值在 \(k=0\) 即 \(n=1\) 时值为 \(1\) 否则为 \(0\) ，

  2. 对于任意正整数 \(n\)

     \[\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n} \]

• 实现：

  众所周知，线性筛可以求好多积性函数

  那么求\(\mathcal{Möbius}\)函数的方法就很显然了( \(\mathcal{Möbius}\)函数是积性函数 )

  线性筛

  class MoBIUS{
  public:
      int mu[MAXM],p[MAXM],tot;
      bool f[MAXM];
      void Mobius(int n){
          mu[1]=1;
          for(int i=2;i<=n;++i){
              if(!f[i])
                  p[++tot]=i,
                  mu[i]=-1;
              for(int j=1;(j<=tot&&i*p[j]<=n);++j){
                  f[i*p[j]]=1;
                  if(i%p[j]==0){
                      mu[i*p[j]]=0;
                      break;
                  }
                  mu[i*p[j]]=-mu[i];
              }
          }
      }
  }Mu;
  

那么有了求\(\mathcal{Möbius}\)函数的方法了，但是还是做不出来题怎么办

所以选择学莫比乌斯反演

• 莫比乌斯定理

  定义 \(g(n)\) 和 \(f(n)\) 是定义在非负整数集合上的两个函数，并且满足条件

  \[g(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

  那么一定存在

  \[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

• 证明

  

  所以直接抄别人的，有公式做题就是快🤣🤣🤣

  通过定义证明：

  由 \(g(n)\) 和 \(f(n)\) 的定义可得：

  \[g(\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor) = \sum_{i|\left \lfloor \frac{n}{d} \right \rfloor}\ f(i) \]
  \[\sum_{d|n}\mu(d)g(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i) \]
  \[=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n) \]

  另一个式子：

  当 \(g(n)\) 和 \(f(n)\) 满足：

  那么$$f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)$$

  证毕

但是其实我看不懂

那么按理说该考虑做题了

所以你说得对但是我不会写我是菜狗第一道都没看懂

这里还有三张图