12.7闲话

今天一看那个高中楼都被围起来了，估计快学考了

为啥和同学打招呼都没人理我，哦原来因为我是菜√，太菜了导致的

推歌

虚拟歌手贺岁纪《万物有灵》

歌词

似一捧细泉的奔逃

跃过石缝岩角

降落到我怀抱

待天地再静默一秒

这蓬勃的心跳

就将划开晨晓

我是亿万株花草 破土时的微渺

渴盼你能听到

有多少 不经意的喧嚣 穿越世界的浩邈

交织成我歌谣 在你耳畔停靠

生命的祈祷 是风吹拂过树梢 万物曾来过的记号

俯瞰河流蜿蜒盘绕

滋养荒瘠山坳

湿润了你眼角

一座森林突然繁茂

满目花开枝摇

等谁寻来落脚

我 是远行的归鸟 那啾啾的鸣叫

渴盼你能听到

有多少 不经意的喧嚣 与生俱来就美好

纵使烟火零凋 都是温柔语调

生命的祈祷 是风吹拂过树梢 万物曾来过的记号

有多少 不经意的喧嚣 穿越世界的浩邈

交织成我歌谣 在你耳畔停靠

生命的祈祷 是风吹拂过树梢 万物曾来过的记号

多重集的排列

• 定理1:

  设集合$S$为有$k$种不同类型对象的多重集合，每种对象都有无限个，那么$S$的$r$排列数目为$k^r$

  • 证明：

    因为每种对象都有无限个，所以每一位的选择都和前面的选择无关，根据乘法原理可以轻易得到$S$的$r$排列数目为$k^r$

• 定理2:

  对于多重集合$S=\{{n_1\times a_1,n_2\times a_2,\cdots,n_k\times a_k}\}$，$S$的全排列个数为

  $$\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times \cdots \times n_k!}$$

  • 证明

    放置$a_1$时，一共有$n$个位置，也就是在$n$个位置中放置$n_1$个数，也就是$\large \binom{n}{n_1}$

    放置$a_2$时，还剩余$n-n_1$个位置，放置$n_2$个数，也就是
    $\large \binom{n-n_1}{n_2}$

    以此类推

    在最后根据乘法原理相乘可以得到

    $$\begin{aligned} &\ \ \ \binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}\cdots\binom{n-n_1-n_2-n_3-\cdots-n_{k-1}}{n_k}\\ &=\frac{n!}{n_1!\times{(n-n_1)!}}\times\frac{(n-n_1)!}{n_2!\times{(n-n_1-n_2)!}}\times\frac{(n-n_1-n_2)!}{n_3!\times{(n-n_1-n_2-n_3)!}}\times\cdots \times \frac{(n-n_1-n_2-\cdots-n_{k-1})!}{n_k!\times{(n-n_1-n_2-n_3-\cdots-n_k)!}}\\ &=\frac{n!}{n_1!\times n_2!\times n_3! \times \cdots \times n_k!} \end{aligned}$$

    证毕

  • 根据这个定理还可以得到一个结论

    对于$S=\{a_1\times n_1,a_2\times n_2\}$，S的全排列为$\binom{n}{n_1}$

    • 证明：

      $$\begin{aligned} \frac{n!}{n_1!n_2!}&=\frac{n!}{n_1!\times{(n-n_1)}} \\&=\binom{n}{n_1} \end{aligned}$$

• 定理3

  把$n$个对象的集合$S$划分成$k$个序列且第一个序列有$n_1$个对象,第二个有$n_2$个对象$\cdots$第$k$个有$n_k$个对象且$n=n_1+n_2+\cdots+n_k$那么划分方法个数为

  $$\frac{n!}{n_1!\ n_2!\ n_3!\cdots n_k!}$$

  如果序列没有编号且$n_1=n_2=n_3\cdots=n_k$则个数为

  $$\frac{n!}{k!\ n_1!\ n_2!\ n_3!\cdots n_k!}$$

  • 证明：

    对于前者，证明类似定理二，选择的方法数同样为 $$\binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}\cdots\binom{n-n_1-n_2-n_3-\cdots-n_{k-1}}{n_k}$$

    对于后者，同前面的例子一样，把这些对象分配到$k$个无编号序列中有$k!$种方法为之编号，使用除法原理可得出划分个数为

    $$\frac{n!}{k!\ n_1!\ n_2!\ n_3!\cdots n_k!}$$

错位排列

错位排列是没有任何元素出现在其有序位置的排列。

对于 $1\sim n$ 的排列 $S$ ，如果满足 $S_i\neq i$ ，则称 $S$ 是 $n$ 的错位排列。

递推公式为：

$$D_n=(n−1)(D_{n−1}+D_{n−2})\tag{1}$$

$$D_n=nD_{n−1}+(-1)^n\tag{2}$$

• 证明：
  先把 $n$ 放在第 $n$ 位，对于一个有 $n−1$ 个数的排列，我们分情况讨论：

  • 满足要求：随便用一个数和 $n$ 交换，为 $(n−1)D_{n−1}$

  • 有且只有一位 $k(1≤k≤n−1)$ 不满足：把 $k$ 和 $n$ 交换，为 $(n−1)D_{n−2}$

  • 有 $k(2≤k≤n−1)$ 位不满足：不可能一次换完，应该已经换完了

  合并一下，总方案数为：

  $$D_n=(n−1)(D_{n−1}+D_{n−2})$$