11.29闲话
今天也是为了解LCA
,然后学了树链剖分
这边写个讲解
树剖分为重链剖分和长链剖分
通常指的是重链剖分
重链剖分
对于任意一个位于树上的节点
重子节点 表示其子节点中子树最大的子结点。如果有多个子树最大的子结点,取其一。如果没有子节点,就无重子节点。
轻子节点 表示剩余的所有子结点
重边 表示这个结点到重子节点的边
轻边 表示这个结点到其他轻子节点的边为
重链 表示若干条首尾衔接的重边
把落单的结点也当作重链,那么整棵树就被剖分成若干条重链
借用一下OI-wiki的图片
实现
首先,要先预处理几个变量
每个结点的父节点,子树大小,深度,重子节点,所在重链的链顶,重边优先遍历时的DFS序,DFS序对应的结点编号
struct node{
int fa/*父节点*/,dep/*深度*/,siz/*子树大小*/,son/*重子节点*/,top/*所在链的链顶*/;
int dfn/*DFS序*/,rnk/*对应编号*/;
}T[MAXM];
预处理的方法就是两个DFS
- 第一遍:记录父节点,深度,子树大小,重子节点
inline void Dfs1(int q){
T[q].son=-1;
T[q].siz=1;
for(int j=head[q];j;j=NEXT[j]){
if(j=T[q].fa) continue;
T[j].dep=T[q].dep+1;
T[j].fa=q;
Dfs1(j);
T[q].siz+=T[j].siz;
if((T[q].son==-1)||(T[j].siz>T[T[q].son].siz)) T[q].son=j;
}
}
- 第二遍:记录所在链的链顶,DFS序,对应的rank
inline void Dfs2(int q,int v){
T[q].top=v;
T[q].dfn=++cnt;
T[cnt].rnk=q;
if(T[q].son==-1)
return;
Dfs2(T[q].son,v);
for(int j=head[q];j;j=NEXT[j]){
if((j!=T[q].fa)&&(j!=T[q].son))
Dfs2(j,j);
}
}
有啥用
首先,要用线段树维护
然后就可以
-
求树上两点路径权值和
-
维护子树上的信息(譬如将以\(x\)为根的子树的所有结点的权值增加\(v\))
-
求
LCA
(\(O(\log n)\)甚至常数小)
根本思想:对于两个不在同一重链内的节点,让他们不断地跳,使得他们处于同一重链上
求树上两点路径权值和
这个比较抽象
首先,怎么跳?
根据一个显然的结论:x
到 T[x].top
中的节点在线段树上是连续的
结合深度dep
我们可以每次都让两个点的top
中dep
大的向上跳
每次跳直接让x
跳到T[x].top
即可,然后线段树上更新
在最后两个点处于同一重边时因为结论
x
到T[x].top
中的节点在线段树上是连续的
所以可以直接进行线段树的查询
子树操作
因为一棵树的子树在线段树上是连续的
所以直接线段树修改即可
LCA
这个和求树上两点路径权值和差不多一样(
就是更简单一些
只要知道树上倍增求LCA的应该也都懂
甚至不用线段树
代码实现
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXM 0X66CCFF
#define int long long
namespace IO{
inline void close(){std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0);std::cout.tie(0);}
inline void Fire(){freopen(".in","r",stdin);freopen(".out","w",stdout);}
inline int read(){int s = 0,w = 1;char ch = getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch == '-') w = -1;ch = getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){ s = s*10+ch-'0';ch = getchar();}return s*w;}
inline void write(int x){char F[200];int tmp=x>0?x:-x,cnt=0;;if(x<0)putchar('-') ;while(tmp>0){F[cnt++]=tmp%10+'0';tmp/=10;}while(cnt>0)putchar(F[--cnt]);}
}
using namespace IO;
int head[MAXM],NEXT[MAXM],TO[MAXM],cnt,tot,a[MAXM];
struct node{
int fa,dep,siz,son,top;
int dfn,rnk;
}T[MAXM];
namespace Grape{
inline void add(int u,int v){
NEXT[++tot]=head[u];
TO[tot]=v;
head[u]=tot;
}
}
namespace ST{
#define mid (l+r)/2
#define lC q<<1
#define rC q<<1|1
struct St{
long long l,r,siz;
long long lazy,dat;
}t[0x66ccff];
void build(int q,int l,int r){
t[q].l=l;
t[q].r=r;
t[q].siz=r-l+1;
if(l==r){
t[q].dat=a[T[l].rnk];
return;
}
build(lC,l,mid);
build(rC,mid+1,r);
t[q].dat=t[lC].dat+t[rC].dat;
#ifdef debug
std::cout<<t[q].dat<<std::endl;
#endif
}
void lazy(int q){
t[lC].lazy+=t[q].lazy;
t[lC].dat+=(t[lC].siz)*t[q].lazy;
t[rC].lazy+=t[q].lazy;
t[rC].dat+=(t[rC].siz)*t[q].lazy;
t[q].lazy=0;
}
void change(int q,int l,int r,int v){
if(t[q].l>r||t[q].r<l) return;
if(t[q].l>=l && t[q].r<=r){
t[q].lazy+=v;
t[q].dat+=t[q].siz*v;
return;
}
if(t[q].lazy!=0)
lazy(q);
change(lC,l,r,v);
change(rC,l,r,v);
t[q].dat=t[lC].dat+t[rC].dat;
}
long long asksum(int q,int l,int r){
if(t[q].l>r || t[q].r<l)
return 0;
if(t[q].l>=l && t[q].r<=r)
return t[q].dat;
if(t[q].lazy!=0)
lazy(q);
return asksum(lC,l,r)+asksum(rC,l,r);
}
}
namespace killTree{
inline void Dfs1(int q){
T[q].son=-1;
T[q].siz=1;
for(int j=head[q];j;j=NEXT[j]){
if(T[TO[j]].dep) continue;
T[TO[j]].dep=T[q].dep+1;
T[TO[j]].fa=q;
Dfs1(TO[j]);
T[q].siz+=T[TO[j]].siz;
if((T[q].son==-1) || (T[TO[j]].siz>T[T[q].son].siz)) T[q].son=TO[j];
}
}
inline void Dfs2(int q,int v){
T[q].top=v;
T[q].dfn=++cnt;
T[cnt].rnk=q;
if(T[q].son==-1)
return;
Dfs2(T[q].son,v);
for(int j=head[q];j;j=NEXT[j]){
if((TO[j]!=T[q].fa)&&(TO[j]!=T[q].son))
Dfs2(TO[j],TO[j]);
}
}
inline void TreeAdd(int x,int y,int val){
while(T[x].top!=T[y].top){
if(T[T[x].top].dep<T[T[y].top].dep)
std::swap(x,y);
ST::change(1,T[T[x].top].dfn,T[x].dfn,val);
x=T[T[x].top].fa;
}
if(T[x].dep>T[y].dep)
std::swap(x,y);
ST::change(1,T[x].dfn,T[y].dfn,val);
}
inline int TreeSum(int x,int y){
int ans=0;
while(T[x].top!=T[y].top){
if(T[T[x].top].dep<T[T[y].top].dep) std::swap(x,y);
ans=ans+ST::asksum(1,T[T[x].top].dfn,T[x].dfn);
x=T[T[x].top].fa;
}
if(T[x].dep>T[y].dep) std::swap(x,y);
return ans+ST::asksum(1,T[x].dfn,T[y].dfn);
}
inline void AddTree(int x,int val){
ST::change(1,T[x].dfn,T[x].dfn+T[x].siz-1,val);
}
inline int AskTree(int x){
return ST::asksum(1,T[x].dfn,T[x].dfn+T[x].siz-1);
}
}
signed main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("1.in","r",stdin);
freopen("1.out","w",stdout);
#endif
int N=read(),M=read(),R=read();
for(int i=1;i<=N;i++)
a[i]=read();
for(int i=1;i<N;i++){
int u=read(),v=read();
Grape::add(u,v);
Grape::add(v,u);
}
T[R].dep=1;
killTree::Dfs1(R);
killTree::Dfs2(R,R);
ST::build(1,1,N);
for(int i=1;i<=M;i++){
int q=read();
if(q==1){
int x=read(),y=read();
killTree::AddTree(x,y);
}
else{
int x=read();
std::cout<<killTree::AskTree(x)<<std::endl;
}
}
}