土地购买 （斜率优化dp）
土地购买 （斜率优化dp）
题目描述
农夫 \(John\) 准备扩大他的农场,他正在考虑$ N(1 \leqslant N \leqslant 50,000)$ 块长方形的土地. 每块土地的长宽满足\((1 \leqslant\) 宽 \(\leqslant 1,000,000; 1 \leqslant\) 长 \(\leqslant 1,000,000)\).
每块土地的价格是它的面积,但 \(FJ\) 可以同时购买多块土地. 这些土地的价格是它们最大的长乘以它们最大的宽, 但是土地的长宽不能交换. 如果 \(FJ\) 买一块 \(3\times 5\) 的地和一块 \(5\times 3\)的地,则他需要付 \(5\times 5=25\).
\(FJ\) 希望买下所有的土地,但是他发现分组来买这些土地可以节省经费. 他需要你帮助他找到最小的经费.
输入格式
第 \(1\) 行：一个数: \(N\)
第 \(2..N+1\) 行：第 \(i+1\) 行包含两个数，分别为第 \(i\) 块土地的长和宽。
输出格式
第一行: 最小的可行费用。
样例
样例输入
4
100 1 15 15 20 5 1 100
样例输出
500
样例解释
共有 \(4\) 块土地，\(FJ\) 分 \(3\) 组买这些土地: 第一组: \(100\times 1\), 第二组 \(1\times 100\) , 第三组 \(20\times 5\) 和 \(15\times 15\) 每组的价格分别为 \(100,100,300\) , 总共 \(500\)。
数据范围与提示
对于 \(50\%\) 的数据 \(n \leqslant 1000\)
对于 \(100\%\) 的数据 \(n \leqslant 50000\)
数据有一定梯度
分析
题目中说选一堆土地的时候，只用最大的长和宽计算价值，那么我们可以先去重，也就是让包含的关系先处理掉，按照长度从小到大排序，利用一个单调栈来维护单调减的一堆序列，这样就去完了重（所谓的去重），这时候长度就是递增，宽度递减，那么我们只需要取一段区间的端点即可，转化成状态转移方程就是：
转化一下柿子，变成 \(f[j-1] = f[i] - len_j \times width_i\)
最后这个式子就可以用来斜率优化了。
代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
const int L=1<<20;
char buffer[L],*S,*T;
#define lowbit(x) (x & -x)
#define getchar() (S==T&&(T=(S=buffer)+fread(buffer,1,L,stdin),S==T)?EOF:*S++)
#define inline __inline__ __attribute__((__always_inline__))
#define max(a,b) (a>b?a:b)
#define re register
#define ll long long
const int maxn = 5e4+10;
ll f[maxn];
struct Node{
ll w,l;
}jl[maxn];
ll staw[maxn];
int top;
ll stal[maxn];
ll q[maxn];
ll a[maxn],b[maxn];
inline ll read(){
int s = 0,f = 1;
char ch = getchar();
while(!isdigit(ch)){
if(ch == '-')f = -1;
ch = getchar();
}
while(isdigit(ch)){
s = s * 10 + ch - '0';
ch = getchar();
}
return s * f;
}
inline bool cmp(Node a,Node b){//排序
if(a.l == b.l)return a.w < b.w;
return a.l < b.l;
}
inline ll calc(int a,int b){//计算函数值
return f[b] + staw[b+1] * stal[a];
}
inline bool jud(int x1,int x2,int x3){//计算斜率
return (b[x3] - b[x1]) * (a[x2] - a[x1]) >= (b[x2] - b[x1]) * (a[x3] - a[x1]);
}
signed main(){
freopen("A.in","r",stdin);
freopen("A.out","w",stdout);
re ll n = read();
for(re int i = 1;i <= n;++i){
jl[i].w = read();
jl[i].l = read();
}
sort(jl+1,jl+n+1,cmp);
for(re int i = 1;i <= n;++i){//单调栈去重，找出包含的情况
while(top && jl[i].w >= staw[top])top--;
staw[++top] = jl[i].w;
stal[top] = jl[i].l;
}
re int head = 1,tail = 1;
a[0] = staw[1];
for(re int i = 1;i <= top;++i){//单调队列斜率优化
while(head < tail && calc(i,q[head]) >= calc(i,q[head+1]))head++;
f[i] = calc(i,q[head]);
a[i] = staw[i + 1];
b[i] = f[i];
while(head < tail && jud(q[tail-1],q[tail],i))tail--;
q[++tail] = i;
}
printf("%lld\n",f[top]);
return 0;
}
