[NOI2012]随机数生成器【矩阵快速幂】

NOI2012 随机数生成器

题目描述

栋栋最近迷上了随机算法，而随机数是生成随机算法的基础。栋栋准备使用线性同余法（Linear Congruential Method）来生成一个随机数列，这种方法需要设置四个非负整数参数 \(m,a,c,X_0\)，按照下面的公式生成出一系列随机数 \(\{X_n\}\)：

\[X_{n+1}=(aX_n +c)\bmod m \]

其中\(mod\ m\) 表示前面的数除以 \(m\) 的余数。从这个式子可以看出，这个序列的下一个数总是由上一个数生成的。

栋栋知道这样产生的序列具有良好的随机性，不过心急的他仍然想尽快知道 \(X_n\) 是多少。由于栋栋需要的随机数是 \(0,1,\dots,g-1\) 之间的，他需要将 \(X_n\)​ 除以 \(g\) 取余得到他想要的数，即 \(X_n \bmod g\)，你只需要告诉栋栋他想要的数 \(X_n \bmod g\) 是多少就可以了。

输入格式

一行 \(6\) 个用空格分割的整数 \(m,a,c,X_0,n\) 和 \(g\)，其中 \(a,c,X_0\) 是非负整数，\(m,n,g\) 是正整数。

输出格式

输出一个数，即 \(X_n \bmod g\)。

输入输出样例

输入

11 8 7 1 5 3

输出

2

说明/提示

计算得 \(X_n=X_5=8\)，故\((X_n \bmod g) = (8 \bmod 3) = 2\)。

对于 \(100\%\) 的数据，\(n,m,a,c,X_0\leq 10^{18}\)，\(1\leq g\leq 10^8\)，\(n,m\geq 1\)，\(a,c,X_0\geq 0\)。

题意

给出了一个迷惑式子，让你算出来式子的第\(n\)项，然后\(mod\ g\)的结果

分析

看到这样一个个的递推式子，一个个用\(for\)循环来推肯定不行，所以很容易就会想到要用到矩阵快速幂来求。那么我们现在的主要任务就是构造矩阵来进行乘法运算。

首先看到题目中给出的式子：

\[X_{n+1}=(aX_n+c)\ mod\ m \]

取模运算可以暂且先不看，因为对结果没什么影响，在矩阵乘法的时候进行取模就行了。所以转化成如下式子：

\[X_{n+1}=aX_n+c \]

那么我们就可以根据这个式子来构造矩阵。由矩阵的乘法运算为结果矩阵的\(i\)行\(j\)列为前边矩阵一个的第\(i\)行乘以另一个的第\(j\)列，所以我们可以得出如下的矩阵递推式子：

\[\left[ \begin{matrix} X_{n-1}\\ c \end{matrix} \right]\times \left[ \begin{matrix} a & 1\\ 0 & 1 \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} X_{n}\\ c \end{matrix} \right] \]

这里用\(X_{n-1}\)这一列分别乘以右边矩阵的第一第二行，得到结果的矩阵，那么我们就可以根据这个递推式子来进行矩阵快速幂。
这里乘法的运算过程如下：

\[X_{n-1}\times a+c\times 1 = X_n \]

\[X_{n-1}\times 0+c\times 1 = c \]

由此得到结果矩阵

这里的矩阵做乘法的时候需要用到龟速乘，不然会爆\(long\ long\)

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
struct Node{//矩阵结构体
	int a[5][5];
};
int m,a,c,x0,g,n;
int ksj(int a,int b){//龟速乘
	int ans = 0;
	while(b){
		if(b & 1)ans = (ans + a) % m;
		a = (a + a) % m;
		b >>= 1;
	}
	return ans;
}
Node Mul(Node a,Node b,int c){//矩阵乘法，记得取模
	 Node ans;
	 memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
	 for(int i=1;i<=2;++i){
		 for(int j=1;j<=2;++j){
			 for(int k=1;k<=2;++k){
				 ans.a[i][j] = (ans.a[i][j] + ksj(a.a[i][k],b.a[k][j])%c)%c;
			 }
		 }
	 }
	 return ans;
}
Node ans;
void qpow(Node &ans,Node b,int c){//矩阵快速幂
	while(c){
		if(c & 1)ans = Mul(b,ans,m);
		b = Mul(b,b,m);
		c >>= 1;
	}
}
signed main(){
	Node bas;
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&m,&a,&c,&x0,&n,&g);
	ans.a[1][1] = x0;//初始化矩阵
	ans.a[2][1] = c;
	bas.a[1][1] = a;
	bas.a[1][2] = 1;
	bas.a[2][1] = 0;
	bas.a[2][2] = 1;
	qpow(ans,bas,n);
	printf("%lld\n",ans.a[1][1] % g);//得答案
}