洛谷P3694 邦邦的大合唱站队【状压dp】
状压dp
应用思想，找准状态，多考虑状态和\(f\)答案数组的维数（这个题主要就是找出来状态如何转移）
题目背景
\(BanG Dream!\)里的所有偶像乐队要一起大合唱，不过在排队上出了一些问题。
题目描述
\(N\)个偶像排成一列，他们来自\(M\)个不同的乐队。每个团队至少有一个偶像。
现在要求重新安排队列，使来自同一乐队的偶像连续的站在一起。重新安排的办法是，让若干偶像出列（剩下的偶像不动），然后让出列的偶像一个个归队到原来的空位，归队的位置任意。
请问最少让多少偶像出列？
输入格式
第一行\(2\)个整数\(N\)，\(M\)。
接下来\(N\)个行，每行一个整数\(a_i(1\le a_i \le M)\)，表示队列中第i个偶像的团队编号。
输出格式
一个整数，表示答案
输入输出样例
输入
12 4
1
3
2
4
2
1
2
3
1
1
3
4
输出
7
说明/提示
【样例解释】
\(1 \ 3 \ √\\ 3\ 3\\ 2\ 3 \ √\\ 4 \ 4\\ 2 \ 4 \ √\\ 1 \ 2 \ √\\ 2 \ 2\\ 3 \ 2 \ √\\ 1 \ 1\\ 1 \ 1\\ 3 \ 1 \ √\\ 4 \ 1 \ √\)
【数据规模】
对于\(20\%\)的数据，\(N\le 20, M=2\)
对于\(40\%\)的数据，\(N\le 100, M\le 4\)
对于\(70\%\)的数据，\(N\le 2000, M\le 10\)
对于全部数据，\(1\le N\le 10^5\), \(M\le 20\)
分析
看到这友好的乐队数范围，很容易就想到了状压dp，但是状态到底找哪个，记录答案的\(f\)数组开几维都是问题，我们来分析一下，题目中给出的乐队\(M\)的范围是\(20\)，而状态压缩就是从小的范围入手的，所以\(f\)数组的状态那一维肯定是关于乐队的，再看题目中问的，询问的是要最少拿出来多少人，那么这个状态肯定就是第几个乐队入队的状态，记录的是当前状态下出队人数的最小，然后枚举最后一个位置的乐队，那么需不需要第二维呢？看起来是不需要的，因为我们每次转移都是从上一次当前乐队的人未放入到放入，然后加上当前乐队人数，减去增加的长度中当前乐队的人数，也就是算出前边需要出队的人数（这个人数用\(sum\)数组记录前缀和来实现），就是这一次需要拿出来的人数，然后每次转移都取一次\(min\)，最终状态全为\(1\)的时候的\(f\)数组就是答案。状态转移方程如下：
其中\(num\)是第\(j\)个乐队的人数，\(len\)是到现在状态的队伍长度，预处理一下就可以。\(sum\)就是当前乐队在这一段中的人数。
如果一共有\(M\)个乐队，最终答案就是\(f[(1<<M)-1]\)
总结一下数组代表的东西：
\(f[i]\)代表状态为\(i\)时出队的最小人数,\(sum[i][j]\)表示前\(i\)长度里，\(j\)乐队的人数，\(num[j]\)代表的就是\(j\)乐队的总人数。
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 21;
int f[1<<maxn];
int num[maxn];
int a[100005];
int sum[100005][maxn];
int n,m;
int main(){
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;++i){
cin>>a[i];
}
for(int i=1;i<=n;++i){
num[a[i]]++;//记录每个乐队的总人数
for(int j=1;j<=m;++j)sum[i][j] = sum[i-1][j];//初始化sum数组
sum[i][a[i]]++;//求每个乐队人数的前缀和
}
memset(f,0x3f,sizeof(f));//初始化最大值
f[0] = 0;//一个乐队都没有的时候取0人
for(int i=1;i<(1<<m);++i){
int len = 0;
for(int j=1;j<=m;++j)if(i & (1<<(j-1)))len += num[j];//如果当前状态下取了j乐队的人，总人数就加上j乐队的人数
for(int j=1;j<=m;++j){//枚举站在最后一个位置的乐队
if(i & (1<<(j-1)))//效率优化，当前状态取了他再进行取min，不然取min没有意义
f[i] = min(f[i],f[i ^ (1<<(j-1))] + num[j] - sum[len][j]+sum[len - num[j]][j]);//状态转移，取第j个乐队要加上该乐队人数，减去这一段中本来就有的该乐队人数
}
}
int ans = f[(1<<m)-1];
cout<<ans;
}
