Bellman-Ford算法 (贝尔曼-福特算法)

定义

贝尔曼-福特算法，求解单源最短路径问题的一种算法，由理查德·贝尔曼（Richard Bellman） 和 莱斯特·福特 创立的。

它的原理是对图进行松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高。

原理

Bellman-Ford算法通过松弛（如果 dist[v] < dist[u] + w，则dist[v] = dist[u] + w），反复利用已有的边来更新最短距离。

如果不存在负权回路，应当会在 (n-1) 次松弛之后结束。因为任意两点间的最短路径至多经过 (n-2) 个点，因此经过 (n-1) 次操作后就可以得到最短路径。

如果存在负权回路，那么第 n 次松弛操作仍然会成功，Bellman-Ford算法就是利用这个性质判定负环。

实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int maxn=10005;
struct node
{
  int u,v,w;
}edge[maxn];
int dis[maxn],n,m;
int Bellman_Ford(int s);
int main()
{
  int i;   
  scanf("%d%d",&n,&m);
  for(i=1;i<=m;i++)  scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w);
  if(Bellman_Ford(1)) printf("有负环\n");
  system("pause");
  return 0;
}
int Bellman_Ford(int s)
{
  int check,flag=0,i,j;
  fill(dis,dis+maxn,inf);  dis[s]=0;
  for(j=1;j<=n-1;j++)
  {
    check=0;
    for(i=1;i<=m;i++)
      if(dis[edge[i].v]>dis[edge[i].u]+edge[i].w)
      {
        dis[edge[i].v]=dis[edge[i].u]+edge[i].w;
        check=1;
      }
    if(!check)break;
  }

  for(i=1;i<=m;i++)
    if(dis[edge[i].v]>dis[edge[i].u]+edge[i].w)
      {
        flag=1;
        break;
      }

  if(flag) return 1;
  else
    for(i=1;i<=n;i++)
      printf("%d->%d   %d\n",s,i,dis[i]);
  return 0;
}