关节点

定义

在连通图 G 中，如果删除顶点 u 及从 u 出发的所有边后所得的子图不连通，我们就称顶点 u 为图 G 的关节点或连接点。 

原理

  要解决这道题，我们可以检查图在单独删除各顶点之后的连通性，但这个算法要对每个顶点执行一次DFS, 效率不高。

  不过，只要我们如下将DFS加以应用，就可以有效地找出图 G 中所有的关节点了。

  在一次DFS中求以下变量值。

  🔰prenum[u]：以 G 的任意顶点作为起点进行DFS，将各顶点 u 的访问（首次发现）顺序记录在prenum[u]中。

  🔰parent[u]：通过DFS生成一棵树（DFS Tree）,将其中结点 u 的父节点记录在parent[u]中。这里将DFS Tree记作T。

  🔰lowest[u]：对于各顶点 u，计算下列情况的最小值并记入lowest[u]

     ① prenum[u]

     ② 存在 G 的Back(u, v)时，顶点 v 的prenum[v]（Back(u, v)表示图 G 内 ”从顶点 u 出发指向 T 内的顶点 v“ 且 ”不属于 T “的边）

     ③ T 内顶点 u 的所以子节点 x 的lowest[u]

  有了这些变量，我们便可以通过下述方法确定关节点。

  ① T 的根节点 r 拥有 2 个以上子节点时（充分必要条件），r 为关节点。

  ② 对于各顶点 u，设 u 的父节点parent[u] 为 p ,如果prenum[p] <= lowest[u] （充分必要条件），则 p 为关节点（p 为根节点时则套用 ①）。这表明顶点 u 及 u 在 T 中的子孙均不具备与 p 的祖先相连的边。

实现

如图，G 代表图 G，T 代表以顶点 0 为起点对 G 执行DFS后得到的DFS Tree。T 的Back edges 用虚线标出，各顶点 u 的左侧数字为prenum[u]：lowest[u]。prenum[u]为DFS中各顶点 u 的被访问顺序：按照 0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 -> 5 -> 6 -> 7的顺序记录。

lowest[u]是DFS过程中各顶点 u 访问结束的顺序：按照 4 -> 7 -> 6 -> 5 -> 3 -> 2 -> 1 -> 0的顺序算出。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=100000;
vector<int> G[maxn];
bool vis[maxn];
int N,prenum[maxn],parent[maxn],lowest[maxn],timer=1;
void dfs(int current,int prev);
void art_points();
int main()
{
  int i,m,s,t;
  cin>>N>>m;
  for(i=0;i<m;i++)
  {
    cin>>s>>t;
    G[s].push_back(t);
    G[t].push_back(s);
  }
  art_points();
  system("pause");
  return 0;
}
void art_points()
{
  int i,np=0,p;
  set<int> ap;
  dfs(0,-1);
  for(i=1;i<N;i++)
  {
    p=parent[i];
    if(p==0) np++;
    else if(prenum[p]<=lowest[i]) ap.insert(p);
  }
  if(np>1) ap.insert(0);
  for(set<int>::iterator it=ap.begin();it!=ap.end();it++)
   cout<<*it<<endl;
}
void dfs(int current,int prev)
{
  int next,i;
  prenum[current]=lowest[current]=timer;
  timer++;
  vis[current]=1;
  for(i=0;i<G[current].size();i++)
  {
    next=G[current][i];
    if(!vis[next])
    {
      parent[next]=current;
      dfs(next,current);
      lowest[current]=min(lowest[current],lowest[next]);
    }
    else if(next!=prev)
      lowest[current]=min(lowest[current],prenum[next]);
  }
}

参考程序设计竞赛（第2版）