欧拉函数|降幂

定义

    对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目。此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。

内容

   通式：

   其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数。

性质

    ① n的所有质因子之和是φ(n)*n/2。

   ② 若m,n互质,φ(m*n)=φ(m)*φ(n)。(欧拉函数是积性函数)

   ③ 若n为奇数,φ(2n)=φ(n)

   ④ 若n为质数,则φ(n)=n-1

   ⑤ 若n>2,则φ(n)是偶数。

   ⑥ 若p为质数,

    ⑦  令a为N的质因子，则

    若(N%a==0&&(N/a)%a==0) 则有: φ(N)=φ(N/a)*a

    若(N%a==0&&(N/a)%a!=0) 则有: φ(N)=φ(N/a)*(a-1)

实现

根据公式

int Euler(int n)
{
  int res=n;
  for(int i=2;i*i<=n;i++)
  {
    if(n%i==0)  
    {
      res=res/i*(i-1);  
      while(n%i==0) n/=i; 
    }
  }
  if(n>1) res=res/n*(n-1);
  return res;
}

埃拉托斯特尼筛求欧拉函数

int phi[maxn];
void euler()  
{  
  for(int i=2;i<maxn;i++)
  {  
    if(phi[i]) continue;  
    for(int j=i;j<maxn;j+=i)
    {  
      if(!phi[j]) phi[j]=j;  
      phi[j]=phi[j]/i*(i-1);  
    }  
  }  
}

欧拉筛求欧拉函数

int phi[maxn],prime[maxn],top;
bool isprime[maxn];
void euler()  
{
  phi[1]=1;
  memset(isprime,0,sizeof(isprime));
  for(int i=2;i<=maxn;i++)
  {
    if(!isprime[i])
    {
      prime[top++]=i;
      phi[i]=i-1;
    }
    for(int k=0;k<top&&i*prime[k]<=maxn;k++)
    {
      isprime[i*prime[k]]=1;
      if(i%prime[k]==0)
      {
        phi[i*prime[k]]=phi[i]*prime[k];
        break;
      }
      else phi[i*prime[k]]=phi[i]*(prime[k]-1);
    }
  }
}

欧拉降幂