素数筛选

经典：

int isprime(int n)
{
  int i;
  if(n<=1) return 0;
  for(i=2;i<=sqrt(n);i++)
    if(n%i==0) return 0;
  return 1;
}

显然如果要判断一定范围内的素数，这种算法很慢。

埃拉托斯特尼(Eratosthenes)筛法

int flag[maxn+5]={1,1};  //if(flag[i]=0) i为素数
void isprime()
{
  int i,j;
  memset(flag,0,sizeof(flag));
  for(i=2;i<=sqrt(N);i++)
  {
    if(!flag[i])
    {
      for(j=i*i;j<=N;j+=i)
        flag[j]=1;
    }
  }
}

欧拉(Euler)筛法

int flag[maxn+5]={1,1},prime[maxn+5];  //if(flag[i]=0) i为素数
void isprime()
{
  int i,j,cnt=0;
  memset(flag,0,sizeof(flag));
  for(i=2;i<=maxn;i++)
  {
    if(!flag[i])  prime[cnt++]=i;
    for(j=0;j<cnt&&prime[j]*i<=maxn;j++)
    {
      flag[prime[j]*i]=1;
      if(i%prime[j]==0) break;
    }
  }
}

为什么当 i|prime[j] 时，就可以跳出循环？

，令i|prime[j]=m，所以，可以看出i*prime[j+1]可以由k'*prime[j]得到，又因为prime[j+1]>prime[j],所以k'肯定比此时的i大，也就是说i*prime[j+1]可以在以后被更新，所以此时不用，以免重复计算。

区间素数筛

 

引：给定整数 a 和 b，请问区间 [a,b) 内有多少个素数？（a<b≤10^12,b−a≤10^6）

因为 b 以内合数的最小质因数一定不会超过√b ，因为如果存在 d 是 n 的约数，那么 n/d 也是 n 的约数，由 n=d×n/d 可知 min(d,n/d)≤√n。

如果有√n以内的素数表的话，就可以把埃式筛法用在[a,b)上了。也就是说，先分别做好[2,√b)的表和[a,b)的表，然后从[2,√b)的表中筛得素数的同时，也将其倍数从[a,b)的表中筛去，最后剩下的就是区间[a,b)内的素数了。

假如要求[1e^9,1e^9+2)区间内的素数，难道我们要开1e^9+3 大小的数组吗？其实并不用，我们利用下标偏移，可以减少空间开销。即将[1e^9,1e^9+2)对应到[0,2),整体区间向左偏移 1e^9。

说白了，就是用已知小范围素数更新未知大范围素数，然后利用下标偏移维护区间。

板子题 poj 2689 Prime Distance

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MAXN = 1e5;
bool is_prime[MAXN],is_prime_small[MAXN];
ll prime[MAXN],prime_num = 0;
//对区间[a,b)内的整数执行筛法，is_prime[i-a]=true <=> 表示i是素数（下标偏移了a）
void segment_sieve(ll a,ll b) 
{
  for(ll i=0;i*i<b;i++) is_prime_small[i]=true;//对[2,sqrt(b))的初始化全为质数
  for(ll i=0;i<b-a;i++) is_prime[i]=true;//对下标偏移后的[a,b)进行初始化
  for(ll i = 2; i * i < b; i++) //筛选[2,sqrt(b))
  { 
    if(is_prime_small[i]) 
    {
      for(ll j=2*i;j*j<b;j+=i) 
        is_prime_small[j]=false;
      
      //(a+i-1)/i 得到最接近a的i的倍数，最低是i的2倍，然后筛选
      for(ll j=max(2LL,(a+i-1)/i)*i;j<b;j+=i)
        is_prime[j-a]=false;
    }
  }
  for(ll i=0;i<b-a;i++) //统计个数 下标偏移
    if(is_prime[i])
      prime[prime_num++]=i+a;
}
int main() 
{
  ll a,b;
  while (~scanf("%lld%lld",&a,&b)) 
  {
    prime_num=0;
    memset(prime,0,sizeof(prime));
    segment_sieve(a,b);
    printf("%lld\n",prime_num);
  }
  return 0;
}