数据结构与算法----树(下)

  大家好，今天继续学习树的数据结构。在上一章，我们讲树的孩子兄弟表示法时，提到了二叉树。今天，我们就来学习二叉树的相关性质。

 一、二叉树定义：

二叉树(Binary Tree):n(n≥0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(为空时，称为空树)，或者由一个根结点、两棵互不相交、称为根结点的左子树、右子树的二叉树组成。(Note:大家注意了，我们在给出二叉树定义时，我们利用了递归概念。就是先给出二叉树概念，再用二叉树概念去解释二叉树。递归是一种很重要的方法，在数据结构中是很重要的，我们会在后面章节中提到。)

我们看图来理解一下二叉树:

 

二、二叉树的特点:

  1、二叉树中的结点度数，一定小于等于2。(根据二叉树定义，由一个根结点、两棵互不相交的称为根结点左子树、右子树的二叉树组成。note:度数不是只能是2，是至多是2)

2、左子树与右子树是有顺序的，次序不能颠倒。

3、即使树中只有一个子树，也要区分左子树、右子树。

 

三、二叉树具有的5种基本形态:

1.空二叉树

2.只有根结点

3.只有左子树的二叉树

4.只有右子树的二叉树

5.既有左子树又有右子树

 

四、特殊二叉树:

1.斜二叉树:

   既然是斜二叉树，就一定要有斜度。

           

上面这两个图，就是斜二叉树。(note:看着是不是挺像线性表。其实，线性表就是二叉树的特殊表现形式)

 

2.满二叉树:

顾名思义，既然是满二叉树，就是每个结点都具备两个子树。如图:

如果二叉树中，每个结点都具备左子树、右子树，并且所有叶子结点都在同一层中，这样的二叉树称为满二叉树。

满二叉树的特点:

a.叶子结点只能出现在最后一层，如果不是，就不能达到满二叉树。

b.非叶子结点的度数只能为2，如果不是，就会出现“缺胳膊少腿”的现象。

c.在相同深度的二叉树中，满二叉树的结点最多，叶子结点最多。

3.完全二叉树:

对一棵具有n个结点的二叉树，按着层序编号，如编号为i(1≤i≤n)的结点位置，与同等深度的满二叉树中编号为i结点位置相同，则称这样的二叉树为完全二叉树。     完全二叉树不好理解，我们看一下图:

  

上面左图，是一棵完全二叉树，右图是一棵满二叉树。我们在心里给右图满二叉树按层序编号。通过左图与右图的对比，我们发现，左图中的任一结点，在右图中都有与之相对应的结点。

下面再给出几张不是完全二叉树的图:

     

完全二叉树特点:

a.如果结点度数为1，那么只能是左子树。(不存在只有右子树结点)

b.叶子结点只能出现在最下两层。

c.最下层的叶子结点，一定集中在左部连续位置。

d.倒数两层，如果有叶子结点，一定集中在右部连续位置。

e.同样结点数的树，完全二叉树的深度最小。

五、二叉树性质:

   接下来，我们来学习一下二叉树的性质。在实际应用中，都是通过二叉树的性质来操作的。二叉树的性质，是非常重要的概念。

a.在二叉树中，第i层的结点总数最多2^(i-1)个

第一层: 1=2^(1-1)=2^0=1

第二层:2=2^(2-1)=2^1=2

第三层:4=2^(3-1)=2^2=4

……

……

b.深度为k的二叉树，结点总数等于2^k-1

深度为1:1=2^1-1=1

深度为2:3=2^2-1=3

深度为3:7=2^3-1=7

……

……

c.如果n0是叶子结点，n2是度数为2的结点。则n0=n2+1.

二叉树中，除了叶子结点就是度数为1、度数为2的结点。我们假设度数为1的结点为n1、度数为2的结点为n2、叶子结点为n0.则树中结点总数为n=n0+n1+n2.我们观察上图，研究一下节点之间的连接线。因为根结点只有出去的线，没有进入的线。所以总线+1就是结点总数，n1+2n2+1=n0+n1+n2  n0=n2+1

d.具有n个结点数的完全二叉树的深度为[log2N]+1([x]表示不大于x的最大整数)。

e.如果对一棵有n个结点的完全二叉树(其深度为[log2N])的结点按层序编号(从第一层到[log2N]+1层，每层从左到右)，对任一结点i(1≤i≤n)有:

1.如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i>1,则双亲为[i/2].

2.如果2i>n,则结点i无左孩子(结点i为叶子结点);否则其左孩子是结点2i.

3.如果2i+1>n,则结点i无右孩子；否则其右孩子是结点2i+1

我们将在下一章讲解二叉树的存储结构