POJ1286 - Necklace of Beads

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Description

给出一个正整数\(n(n\leq23)\)，求用三种颜色对一个\(n\)个点的环染色的方案数。如果两种方案能够通过旋转/翻转来得到，则视为一种方案（即旋转同构，翻转同构）。

Solution

Polya裸题。
群\(G\)的由\(n\)个旋转置换和\(n\)个翻转置换构成。考虑每个置换的轮换数。
对于顺时针旋转\(x\)个点的一个旋转置换，其轮换数为\(gcd(x,n)\)。当\(n\)为奇数时，每个翻转置换的轮换数为\(\dfrac{n+1}{2}\)；当\(n\)为偶数时，有一半翻转置换的轮换数为\(\dfrac{n}{2}+1\)，另一半的轮换数为\(\dfrac{n}{2}\)。

Solution

//Necklace of Beads
#include <cstdio>
typedef long long lint;
int gcd(int x,int y) {return y?gcd(y,x%y):x;}
lint pow(int x,int y)
{
    lint r=1,t=x;
    for(int i=y;i;i>>=1,t*=t) if(i&1) r*=t;
    return r;
}
int main()
{
    while(true)
    {
        int n; scanf("%d",&n);
        if(n==0) {printf("0\n"); continue;}
        if(n<0) break;
        lint ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) ans+=pow(3,gcd(i,n));
        if(n&1) ans+=n*pow(3,n+1>>1);
        else ans+=2*n*pow(3,n>>1);
        printf("%lld\n",ans/n/2);
    }
    return 0;
}