BZOJ3561 - DZY Loves Math VI
Description
共\(T(T\leq3)\)组测试数据。给出\(n,m(n\leq5\times10^5)\)，求
\[\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i,j)^{gcd(i,j)}
\]
Solution
喜闻乐见推推推。
\[\begin{align*}
ans &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m lcm(i,j)^{gcd(i,j)} \\
&= \sum_{d=1}^{+∞} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m [gcd(i,j)=d](\frac{ij}{d})^d \\
&= \sum_{d=1}^{+∞} \sum_{i=1}^{⌊\frac{n}{d}⌋} \sum_{j=1}^{⌊\frac{m}{d}⌋} [gcd(i,j)=1](ijd)^d \\
&= \sum_{d=1}^{+∞} d^d \sum_{d_1=1}^{+∞}\mu(d_1) \sum_{d_1|i}^{⌊\frac{n}{d}⌋} \sum_{d_1|j}^{⌊\frac{m}{d}⌋} (ij)^d \\
&= \sum_{d=1}^{+∞} d^d \sum_{d_1=1}^{+∞}\mu(d_1) \sum_{i=1}^{⌊\frac{n}{dd_1}⌋} \sum_{j=1}^{⌊\frac{m}{dd_1}⌋} (id_1\cdot jd_1)^d \\
&= \sum_{d=1}^{+∞} d^d \sum_{d_1=1}^{+∞}\mu(d_1)d_1^{2d} \sum_{i=1}^{⌊\frac{n}{dd_1}⌋} i^d\sum_{j=1}^{⌊\frac{m}{dd_1}⌋} j^d \\
\end{align*}$$ 于是我们枚举$d$，预处理出$f(x)=\sum_{i=1}^x i^d$，然后枚举$d_1$。
>根据调和级数总复杂度为$O(nlogn)$。
##Code
```cpp
//DZY Loves Math VI
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using std::swap;
typedef long long lint;
const int N=5e5+10;
const int P=1e9+7;
int prCnt,pr[N]; bool prNot[N];
int mu[N];
void init(int n)
{
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(!prNot[i]) pr[++prCnt]=i,mu[i]=-1;
for(int j=1;j<=prCnt;j++)
{
int x=i*pr[j]; if(x>n) break;
prNot[x]=true;
if(i%pr[j]) mu[x]=-mu[i]; else break;
}
}
}
int powD[N],S[N];
int pow(int x,int y)
{
lint r=1,t=x;
for(int i=y;i;i>>=1,t=(t*t)%P) if(i&1) r=(r*t)%P;
return r;
}
int main()
{
int task=1; init(5e5);
while(task--)
{
int n,m; scanf("%d%d",&n,&m);
if(n>m) swap(n,m);
int ans=0;
for(int i=1;i<=m;i++) powD[i]=1;
for(int d=1;d<=n;d++)
{
int k1=n/d,k2=m/d,ansD=0;
for(int i=1;i<=k2;i++) powD[i]=(1LL*powD[i]*i)%P;
for(int i=1;i<=k2;i++) S[i]=(S[i-1]+powD[i])%P;
for(int d1=1;d1<=k1;d1++)
{
lint t=1LL*(mu[d1]+P)%P*powD[d1]%P*powD[d1]%P;
t=t*S[k1/d1]%P*S[k2/d1]%P;
ansD=(ansD+t)%P;
}
ans=(ans+1LL*ansD*pow(d,d))%P;
}
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
```\]
