BZOJ1211 - [HNOI2004]树的计数
Description
一个有\(n(n\leq150)\)个结点的树，给出每个节点的度数\(d_i\)，求满足度数要求的无根树的个数。
Solution
prufer数列_百度百科
简单来说，一棵\(n\)个节点的无根树与一个数值在\([1,n]\)的长度为\(n-2\)的序列一一对应，这个序列便称作prufer数列。其中若点\(i\)的度数为\(d_i\)，那么\(i\)在prufer数列中就出现\(d_i-1\)次。
那么这道题就很简单了：向一个长度为\(n-2\)的序列中填入\(d_1-1\)个\(1\)，\(d_2-1\)个\(2\)，...，\(d_n-1\)个\(n\)。
\[\begin{align*}
ans &= \binom{n-2}{d_1-1} \binom{n-2-(d_1-1)}{d_2-1} ...\binom{n-2-\sum_{i=1}^{n-1}(d_i-1)}{d_n-1} \\
&= \frac{(n-2)!}{(d_1-1)!(n-2-(d_1-1))!} \cdot \frac{(n-2-(d_1-1))!}{(d_2-1)!(n-2-\sum_{i=1}^2(d_i-1))} ... \frac{(n-2-\sum_{i=1}^{n-1}(d_i-1))!}{(d_n-1)!0!} \\
&= \frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n (d_i-1)!}
\end{align*}$$由于阶乘比较大而且坑爹的不取模，所以通过分解质因数的方法来计算。
> 时间复杂度$O(n^2)$。
##Code
```cpp
//[HNOI2004]树的计数
#include <cstdio>
int const N=200;
int n,d[N];
int fac[N][N];
void init()
{
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x=i;
for(int j=2;j<=n;j++)
while(x%j==0) fac[i][j]++,x/=j;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) fac[i][j]+=fac[i-1][j];
}
int ansP[N];
int main()
{
scanf("%d",&n); init();
int sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&d[i]); sum+=d[i];
if(d[i]==0&&n!=1) {puts("0"); return 0;}
}
if(sum!=n*2-2) {puts("0"); return 0;}
if(n==1) {puts("1"); return 0;}
for(int i=1;i<=n;i++) ansP[i]=fac[n-2][i];
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++) ansP[j]-=fac[d[i]-1][j];
long long ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=ansP[i];j++) ans*=i;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
```
##P.S.
注意要特判掉无解和$n=1$的情况。\]
