前缀和与差分

第一讲前缀和与差分

听讲人:24级算法组小萌新

卑微讲题人:22049212-梁军斌(本人正在疯狂整理入党材料中)

我认为，每个人最重要的不是过去，而是现在；虽然背负着昨日的重担，但也有自己想要追寻的东西。
希望你从今以后无论去往何处都不要忘记，世界上有那么多爱你的人。
你道你机关算尽，可你真算到了自己也要下场当棋子吗？
坐看日月行，细数千帆过。
年年今日，灯明如昼。原火不灭，愿人依旧。

先来看一道例题

前缀和

题目描述

给定一个长度为 $n$ 的整数序列。接下来输入 $m$ 个询问，每个询问由一对整数 $l, r$ 组成。

对于每个询问，需要计算并输出原序列中从第 $l$ 个数到第 $r$ 个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ 。
第二行包含 $n$ 个整数，表示整数数列。
接下来 $m$ 行，每行包含两个整数 $l$ 和 $r$ ，表示一个询问的区间范围。

输出格式

共 $m$ 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

$1 \leq l \leq r \leq n$
$1 \leq n, m \leq 100000$
$- 1000 \leq$ 数列中元素的值 $\leq 1000$

示例

输入样例

输出样例

3
6
10

参考代码:

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
using i64 = long long;
const int N = 3e5+10;
void solve()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<int> a(n+1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    vector<int> s(n+1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
    while(m--)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
    }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    int _=1;
    //cin>>_;
    while(_--)
    {
        solve();
    }
    
    
}

前缀和

定义

前缀和可以简单理解为「数列的前 $n$ 项的和」，是一种重要的预处理方式，能大大降低查询的时间复杂度。

$C + +$ 标准库中实现了前缀和函数 std::partial_sum，定义于头文件 <numeric> 中。

设数列的前 $x$ 项的和为 $S_{x}$

已知一个长度为 $n$ 的数组 $a$ :
$S_{1}$ = $a_{1}$
$S_{2}$ = $a_{1}$ + $a_{2}$
$S_{3}$ = $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$
$. . .$
$S_{n - 1}$ = $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + $. . .$ + $a_{n - 1}$
$S_{n}$ = $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + $. . .$ + $a_{n - 1}$ + $a_{n}$

知道前缀和，便可以知道任意区间内所有数之和,即 $S u m_{l, r}$ = $S_{r}$ - $S_{l - 1}$ :

$S_{l - 1}$ = $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + $. . .$ + $a_{l - 1}$
$S_{r}$ = $a_{1}$ + $a_{2}$ + $a_{3}$ + $. . .$ + $a_{r - 1}$ + $a_{r}$
$S u m_{l, r}$ = $a_{l}$ + $a_{l + 1}$ + $a_{l + 2}$ + $. . .$ + $a_{r}$ = $S_{r}$ - $S_{l - 1}$ ;

例:

$S u m_{3, 9}$ = $S_{9}$ - $S_{2}$
$S u m_{3, 7}$ = $S_{7}$ - $S_{2}$
$S u m_{3, 3}$ = $S_{3}$ - $S_{2}$

如何求前缀和?

首先初始化 $a [0] = 0$ ,随后遍历一遍数组 $a$ ,得到前缀和数组

a[0]=0;
for(int i = 1;i <= n;i ++)
{
    a[i]+=a[i-1];
    // s[i]=s[i-1]+a[i];
}

二维前缀和

基于容斥原理

这种方法多用于二维前缀和的情形。给定大小为 $m \times n$ 的二维数组 $A$ ，要求出其前缀和 $S$ 。那么， $S$ 同样是大小为 $m \times n$ 的二维数组，且

S_{i, j} = \sum_{i^{'} \leq i} \sum_{j^{'} \leq j} A_{i^{'}, j^{'}} .

类比一维的情形， $S_{i, j}$ 应该可以基于 $S_{i - 1, j}$ 或 $S_{i, j - 1}$ 计算，从而避免重复计算前面若干项的和。但是，如果直接将 $S_{i - 1, j}$ 和 $S_{i, j - 1}$ 相加，再加上 $A_{i, j}$ ，会导致重复计算 $S_{i - 1, j - 1}$ 这一重叠部分的前缀和，所以还需要再将这部分减掉。这就是容斥原理。由此得到如下递推关系：

S_{i, j} = A_{i, j} + S_{i - 1, j} + S_{i, j - 1} - S_{i - 1, j - 1} .

实现时，直接遍历 $(i, j)$ 求和即可。

考虑一个具体的例子。

二位前缀和示例

这里， $S$ 是给定矩阵 $A$ 的前缀和。根据定义， $S_{3, 3}$ 是左图中虚线方框中的子矩阵的和。这里， $S_{3, 2}$ 是蓝色子矩阵的和， $S_{2, 3}$ 是红色子矩阵的和，它们重叠部分的和是 $S_{2, 2}$ 。由此可见，如果直接相加 $S_{3, 2}$ 和 $S_{2, 3}$ ，会重复计算 $S_{2, 2}$ ，所以应该有

S_{3, 3} = A_{3, 3} + S_{2, 3} + S_{3, 2} - S_{2, 2} = 5 + 18 + 15 - 9 = 29.

同样的道理，在已经预处理出二位前缀和后，要查询左上角为 $(i_{1}, j_{1})$ 、右下角为 $(i_{2}, j_{2})$ 的子矩阵的和，可以计算

S_{i_{2}, j_{2}} - S_{i_{1}, j_{2}} - S_{i_{2}, j_{1}} + S_{i_{1}, j_{1}} .

这可以在 $O (1)$ 时间内完成。

在二维的情形，以上算法的时间复杂度可以简单认为是 $O (m n)$ ，即与给定数组的大小成线性关系。但是，当维度 $k$ 增大时，由于容斥原理涉及的项数以指数级的速度增长，时间复杂度会成为 $O (2^{k} N)$ ，这里 $k$ 是数组维度，而 $N$ 是给定数组大小。因此，该算法不再适用。

逐维前缀和

对于一般的情形，给定 $k$ 维数组 $A$ ，大小为 $N$ ，同样要求得其前缀和 $S$ 。这里，

S_{i_{1}, \dots, i_{k}} = \sum_{i_{1}^{'} \leq i_{1}} \dots \sum_{i_{k}^{'} \leq i_{k}} A_{i_{1}^{'}, \dots, i_{k}^{'}} .

从上式可以看出， $k$ 维前缀和就等于 $k$ 次求和。所以，一个显然的算法是，每次只考虑一个维度，固定所有其它维度，然后求若干个一维前缀和，这样对所有 $k$ 个维度分别求和之后，得到的就是 $k$ 维前缀和。

树上前缀和

设 ${sum}_{i}$ 表示结点 $i$ 到根节点的权值总和。
然后：

若是点权， $x, y$ 路径上的和为 ${sum}_{x} + {sum}_{y} - {sum}_{lca} - {sum}_{{fa}_{lca}}$ 。
若是边权， $x, y$ 路径上的和为 ${sum}_{x} + {sum}_{y} - 2 \cdot {sum}_{l c a}$ 。

LCA 的求法参见最近公共祖先。

题目描述

子矩阵的和

给定一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，以及 $q$ 个询问。每个询问包含四个整数 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ ，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问，输出该子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 $n$ , $m$ , $q$ 。
接下来的 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，表示整数矩阵。
接下来 $q$ 行，每行包含四个整数 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$ ，表示一组询问。

输出格式

共 $q$ 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

$1 \leq n, m \leq 1000$
$1 \leq q \leq 200000$
$1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq n$
$1 \leq y_{1} \leq y_{2} \leq m$
$- 1000 \leq$ 矩阵内元素的值 $\leq 1000$

输入样例

输出样例

17
27
21

参考代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
typedef long long ll;
int a[N][N];
int s[N][N];
int n,m,q;
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
         cin>>a[i][j],s[i][j]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]+a[i][j]-s[i-1][j-1];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
}

差分

解释

差分是一种和前缀和相对的策略，可以当做是求和的逆运算。

这种策略的定义是令 $b_{i} = {\begin{cases} a_{i} - a_{i - 1} & i \in [2, n] \\ a_{1} & i = 1 \end{cases}$

性质

$a_{i}$ 的值是 $b_{i}$ 的前缀和，即 $a_{n} = \sum_{i = 1}^{n} b_{i}$
计算 $a_{i}$ 的前缀和 $s u m = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{i} b_{j} = \sum_{i = 1}^{n} (n - i + 1) b_{i}$

它可以维护多次对序列的一个区间加上一个数，并在最后询问某一位的数或是多次询问某一位的数。注意修改操作一定要在查询操作之前。

譬如使 $[l, r]$ 中的每个数加上一个 $k$ ，即

b_{l} \leftarrow b_{l} + k, b_{r + 1} \leftarrow b_{r + 1} - k

其中 $b_{l} + k = a_{l} + k - a_{l - 1}$ ， $b_{r + 1} - k = a_{r + 1} - (a_{r} + k)$

最后做一遍前缀和就好了。

C++ 标准库中实现了差分函数 std::adjacent_difference，定义于头文件 <numeric> 中。

题目描述

差分

输入一个长度为 $n$ 的整数序列。

接下来输入 $m$ 个操作，每个操作包含三个整数 $l, r, c$ ，表示将序列中 $[l, r]$ 之间的每个数加上 $c$ 。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$ 。
第二行包含 $n$ 个整数，表示整数序列。
接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $l, r, c$ ，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 $n$ 个整数，表示最终序列。

数据范围

$1 \leq n, m \leq 100000$
$1 \leq l \leq r \leq n$
$- 1000 \leq c \leq 1000$
$- 1000 \leq$ 整数序列中元素的值 $\leq 1000$

输入样例

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1

输出样例

3 4 5 3 4 2

参考代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    vector<int> a(n+1,0);
    vector<int> b(n+1,0);
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]=a[i]-a[i-1];
    while(m--)
    {
        int l,r,c;
        cin>>l>>r>>c;
        b[r+1]-=c;
        b[l]+=c;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) b[i]+=b[i-1];
    for(int i=1;i<=n;i++) cout<<b[i]<<" \n"[i==n];
}

二维差分

差分矩阵

题目描述

输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个操作，每个操作包含五个整数 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, c$ ，其中 $(x_{1}, y_{1})$ 和 $(x_{2}, y_{2})$ 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 $c$ 。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 $n, m, q$ 。
接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，表示整数矩阵。
接下来 $q$ 行，每行包含 5 个整数 $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}, c$ ，表示一个操作。

输出格式

共 $n$ 行，每行 $m$ 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

$1 \leq n, m \leq 1000$
$1 \leq q \leq 100000$
$1 \leq x_{1} \leq x_{2} \leq n$
$1 \leq y_{1} \leq y_{2} \leq m$
$- 1000 \leq c \leq 1000$
$- 1000 \leq$ 矩阵内元素的值 $\leq 1000$

输入样例

输出样例

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

参考代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1010][1010];
int b[1010][1010];
int n,m,q;
int main()
{
    cin>>n>>m>>q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
      for(int j=1;j<=m;j++)
        cin>>a[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            b[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
        }
    }
    while(q--)
    {
        int x1,y1,x2,y2,c;
        cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>c;
        b[x1][y1]+=c;
        b[x2+1][y1]-=c;
        b[x1][y2+1]-=c;
        b[x2+1][y2+1]+=c;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]+b[i][j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
          cout<<a[i][j]<<" \n"[j==m];
    }
    
}

习题

前缀和：

二维/多维前缀和：

树上前缀和：

差分：

树上差分：

posted @ 2024-11-17 00:30 Violet_fan 阅读(300) 评论(0) 编辑收藏举报

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