逆序对——树状数组

逆序对

题目描述

猫猫 TOM 和小老鼠 JERRY 最近又较量上了，但是毕竟都是成年人，他们已经不喜欢再玩那种你追我赶的游戏，现在他们喜欢玩统计。

最近，TOM 老猫查阅到一个人类称之为“逆序对”的东西，这东西是这样定义的：对于给定的一段正整数序列，逆序对就是序列中 $a_i>a_j$ 且 $i<j$ 的有序对。知道这概念后，他们就比赛谁先算出给定的一段正整数序列中逆序对的数目。注意序列中可能有重复数字。

输入格式

第一行，一个数 $n$，表示序列中有 $n$个数。

第二行 $n$ 个数，表示给定的序列。序列中每个数字不超过 ${10}^9$。

输出格式

输出序列中逆序对的数目。

样例 #1

样例输入 #1

6
5 4 2 6 3 1

样例输出 #1

11

提示

对于 $25\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 2500$

对于 $50\mathrm{\%}$ 的数据，$n\le 4\times {10}^4$。

对于所有数据，$n\le 5\times {10}^5$

思路：

问题解答

Q1: 如何统计第 $i$ 个数会与第 $i+1$ ~ $n$ 个数构成多少个逆序对呢?

Ans1: 可以通过建立一个树状数组来解决这个问题。初始时，树状数组的所有元素都为 $0$。然后，按照序列从右到左将数据的值对应的位置的数加一，表示该值已经出现。在处理第 $i$ 项时，后 $n-i$ 项已经加入到树状数组中。树状数组中比 $a_i$ 小的元素都会与 $a_i$ 构成逆序对，因为它们出现的更早。因此，产生的逆序对数量为 $query(a_i)$，其中 $query(a_i)$ 表示在树状数组内询问 $1$ ~ $a_i$ 项的前缀和。

Q2: 根据 $a_i$ 来建树状数组空间不够啊？

Ans2: 确实，直接根据 $a_i$ 的值来建立树状数组可能会导致空间不足。但是，我们只需要数据之间的相对大小，而不需要具体的数值大小。因此，可以通过离散化来解决这个问题。具体来说，先将数据排序，然后用 $1$ ~ $n$ 分别对应 $n$ 个数表示它们的相对大小。这样，对新的序列建立树状数组就足够了，因为 $n\le 5\times {10}^5$。

Q3: 相等的元素是否会导致求解错误？每一个数（不管是否相等）对应的新数都不同诶？

Ans3: 如果不处理相等的元素，确实会导致错误。问题的关键在于是否有与 $a_i$ 相等的元素在 $a_i$ 之前被加入且其相对大小标记更大。为了解决这个问题，可以在排序时将 $a_i$ 作为第一关键字，下标（第几个出现）作为第二关键字从小到大排序。这样，所有与 $a_i$ 相等的元素中，先出现的标记也更小，从而避免了误判逆序对的情况。

总结

通过建立树状数组并结合离散化处理，可以高效地统计序列中每个元素与其之前的元素构成的逆序对数量。离散化确保了空间复杂度在可接受范围内，而排序时考虑元素出现顺序则避免了相等元素导致的错误。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=5e5+100,mod=998244353;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> PII;
int T;
int n,m;
struct node
{
    int id;
    int s;
}a[N],b[N];
bool cmp(node a,node b)
{
    if(a.s!=b.s) return a.s<b.s;
    else return a.id<b.id;
}
int c[N];
int ranks[N];
int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}
int query(int x)
{
    int s=0;
    for(;x>0;x-=lowbit(x))
    {
        s+=c[x];
    }
    return s;
}
void modify(int id,int x)
{
    for(;id<=n;id+=lowbit(id))
    {
        c[id]+=x;
    }
}
void solve()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i].s,a[i].id=i;
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ranks[a[i].id]=i;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        int idx=ranks[i];
        ans+=query(idx-1);
        modify(idx,1);
    }
    cout<<ans<<endl;
    
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
    T=1;
    //cin>>T;
    while(T--)
     {
         solve();
     }
     return 0;
}