差分约束

差分约束系统

参考博客：

oiwiki
博客园

差分约束系统

定义

差分约束系统是一种特殊的 \(n\) 元一次不等式组，它包含 \(n\) 个变量 \(x_1, x_2, \dots, x_n\) 以及 \(m\) 个约束条件，每个约束条件是由两个其中的变量做差构成的，形如 \(x_i - x_j \leq c_k\)，其中 \(1 \leq i, j \leq n, i \neq j, 1 \leq k \leq m\) 并且 \(c_k\) 是常数（可以是非负数，也可以是负数）。我们要解决的问题是：求一组解 \(x_1 = a_1, x_2 = a_2, \dots, x_n = a_n\)，使得所有的约束条件得到满足，否则判断出无解。

差分约束系统中的每个约束条件 \(x_i - x_j \leq c_k\) 都可以变形成 \(x_i \leq x_j + c_k\)，这与单源最短路中的三角形不等式 \(dist[y] \leq dist[x] + z\) 非常相似。因此，我们可以把每个变量 \(x_i\) 看做图中的一个结点，对于每个约束条件 \(x_i - x_j \leq c_k\)，从结点 \(j\) 向结点 \(i\) 连一条长度为 \(c_k\) 的有向边。

注意到，如果 \(\{a_1, a_2, \dots, a_n\}\) 是该差分约束系统的一组解，那么对于任意的常数 \(d\)，\(\{a_1 + d, a_2 + d, \dots, a_n + d\}\) 显然也是该差分约束系统的一组解，因为这样做差后 \(d\) 刚好被消掉。

过程

设 \(dist[0] = 0\) 并向每一个点连一条权重为 \(0\) 的边，跑单源最短路，若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解，否则，\(x_i = dist[i]\) 为该差分约束系统的一组解。

性质

一般使用 Bellman–Ford 或队列优化的 Bellman–Ford（俗称 SPFA，在某些随机图跑得很快）判断图中是否存在负环，最坏时间复杂度为 \(O(nm)\)。

求所有变量和的最值

如果要求所有变量和的最值，例如令所有变量都为非负整数，求最小的变量和，我们可以通过跑最长路来实现。对于一个 \(x_i \geq x_j+c_k\)的式子，变为图上一条从 \(i\)连向 \(j\)的边，权值为 \(c_k\)

if（dist[u]<dist[v]+w）
    dist[u]=dist[v]+w;

题目：

【模板】差分约束
小 K 的农场
[SCOI2011] 糖果

模版：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=100010;
int dist[N];
int n,m;
bool st[N];
vector<array<int,2>> E[N];
bool spfa()
{
	memset(st,false,sizeof st);
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	dist[0]=0;
	queue<int> q;
	q.push(0);
	st[0]=true;
	int cnt=0;
	while(q.size())
	{
		auto ver=q.front();
		q.pop();
		cnt++;
		if(cnt>=1e7) return false;
		st[ver]=false;
		for(auto [v,w] : E[ver])
		{
			if(dist[v]>dist[ver]+w)
			{
				dist[v]=dist[ver]+w;
				if(!st[v])
				{
					st[v]=true;
				    q.push(v);
				}
				
			}
		}
	}
	return true;
}
signed main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		E[0].push_back({i,0});
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u,v,w;
		cin>>u>>v>>w;
		E[u].push_back({v,w});
	}
	if(!spfa()) cout<<"NO"<<endl;
	else
	{
		for(int i=1;i<=n;i++)
			cout<<-dist[i]<<" \n"[i==n];
	}
	return 0;
}