最大密度子图

前置技能：01分数规划， 最大权闭合子图

 

 图片源自网上：https://blog.csdn.net/corsica6/article/details/88200297

 说说我自己对这个“最大密度子图”的理解吧。#

关于算法一：#

1. 为什么是求h(g) = E - gV(这里的E代表的是∑E，V同理)

　　因为我们假设g就是我们所求的最大值，那么有 E/ V <= g。之后我们移项一下就是E - gV了。

2. 为什么判断条件是m - Dinic() > 0，且改变的是左边界

　　这一天是从上一条来的，上一条移项之后就是E - gV <= 0。

　　之后我们分析这个式子，如果选择一条边那么就一定会选其对应的点从而付出g或2g的代价。这不就是最大权闭合子图吗？

　　所以我们就可以建边了将每个点连向T，权为g代表需要付出g的代价。每条边抽象的点连向S权为1，代表的是收益。边对应的点连inf

　　之后就是最大权闭合子图 =（正向权相加）m - Dinic()。算是利用最大权闭合子图的性质来求E - gV，间接求得最大密度子图。

　　之后一旦不满足E - gV <= 0，即m - Dinic() > 0 那么说明g太小，所以是将左边界变大。

关于算法二：

一个显然的决策。。就是如果我们已经选定了一个点集，两点都在点集内的边一定要选。。。于是边数就可以看做（至少有一点在点集内的边）-（只有一点在点集内的边）

而（只有一点在点集内的边）相当于点集与其补集的最小割。。。

于是先转化最大化h(x)为最小化 -h（x）

也就是最小化（点数）* g - （至少有一点在点集内的边）+（只有一点在点集内的边）

也就是 （点数）* g - (（选的点的度数之和）/2 - 割)

把系数1/2给去掉。。就变成 2 （点数） g -(（选的点度数之和） - 2 * 割)

于是建图就是。。

 

 

顺便一提推广的建图方式：

边带权：

 

边和点都带权：

 注意这里的c(u,v)建的是容量为w的双向边。