P4126 [AHOI2009]最小割 （SCC+网络流）
首先观察题面我们很明显就能发现，题目让我们求的是最小割的可行边和必须边。
让我们先从求最小割开始。在网络流中，最小割边 <==> 满流的边
考虑现有的满流边 u,vu,vu,v 如何被替代,不难想到 : 残量网络中有包含 u,vu,vu,v 的环(另一条路,注意还包括反向边)。
让流沿着环流动一圈,最大流不变,但是满流被破坏。
由此引出 : 两个端点在同一强连通分量内的边必然总不是最小割。(这里就将tarjan和网络流联系起来了）
所以我们下一步操作就是将图缩成DAG，DAG上的边才有可能是最小割
在这些边里面,直接将S, T相连的我们必须要割,这些边就是必须边。
对于其他边都能分别够构造割与不割的方案,它们是可行边。
总结一下：
具体实现,需要先跑最大流,然后 Tarjan 缩强连通分量,条件是:
-
可行边 : 两端不在一个强连通分量内。
-
必须边 : 一端在SSS的分量内,另一端在TTT的分量内
这题有一个比较技巧性的地方。就是他其实是在原来跑网络流的图上进行缩点。
但是我们知道，网络流是需要加正反边的，那么tarjan缩点就必然会把整个图缩成一个。
那么如何避免呢？我们就需要在缩点代码中加上这一句 if (edge[i].dis == 0) continue; 代表如果是满流（割），那么就当作这条边被割掉了。
那么我们就可以愉快的进行缩点了！
#pragma GCC optimize(2) #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn = 4e4 + 50; const int maxm = 2e5; const ll inf = 1e17; int m,n,s,t, x, head[maxn], num_edge; int cur[maxn],deep[maxn],last[maxn],num[maxn]; int node_num, top; int cnt; int id;//遍历的步数 int dfn[maxn];//记录元素第一次被访问的步数 int low[maxn];//包含i的强联通分量最早被访问的步数 int belong[maxn]; int instack[maxn]; int sta[maxn]; //cur当前弧优化； last该点的上一条边； num桶 用来GAP优化 struct Edge { int from; int next,to; ll dis; }edge[maxm]; void add_edge(int from,int to,ll dis) { edge[num_edge].to=to; edge[num_edge].dis=dis; edge[num_edge].next=head[from]; edge[num_edge].from=from; head[from]=num_edge++; } void tarjan(int u) { int v; dfn[u] = low[u] = ++id; sta[++top] = u, instack[u] = 1; for (int i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) { if (edge[i].dis == 0) continue; v = edge[i].to; if (!dfn[v]) { tarjan(v); low[u] = min(low[u], low[v]); } else if (instack[v]) low[u] = min(low[u], dfn[v]); } if (dfn[u] == low[u]) { cnt++; do { v = sta[top--]; belong[v] = cnt, instack[v] = 0; } while (u != v); } } //bfs仅用于更新deep void bfs(int t) { queue<int>q; for (int i=1; i<=node_num; i++) cur[i]=head[i]; for (int i=1; i<=node_num; i++) deep[i]=node_num; deep[t]=0; q.push(t); while (!q.empty()) { int now=q.front(); q.pop(); for (int i=head[now]; i != -1; i=edge[i].next) { if (deep[edge[i].to]==node_num && edge[i^1].dis)//i^1是为了找反边 { deep[edge[i].to] = deep[now]+1; q.push(edge[i].to); } } } } ll add_flow(int s,int t) { ll ans=inf; int now=t; while (now!=s) { ans=min(ans,edge[last[now]].dis); now=edge[last[now]^1].to; } now=t; while (now!=s) { edge[last[now]].dis-=ans; edge[last[now]^1].dis+=ans; now=edge[last[now]^1].to; } return ans; } ll isap(int s,int t) { int now=s; ll maxflow = 0; bfs(t);//搜出一条增广路 for (int i=1; i<=node_num; i++) num[deep[i]]++; while (deep[s]<node_num) { if (now==t) {//如果到达汇点就直接增广，重新回到源点进行下一轮增广 maxflow+=add_flow(s,t); now=s;//回到源点 } bool has_find=0; for (int i=cur[now]; i!=-1; i=edge[i].next) { if (deep[now]==deep[edge[i].to]+1 && edge[i].dis)//找到一条增广路 { has_find=true; cur[now]=i;//当前弧优化 now=edge[i].to; last[edge[i].to]=i; break; } } if (!has_find)//没有找到出边，重新编号 { int minn=node_num-1; for (int i=head[now]; i!=-1; i=edge[i].next)//回头找路径 if (edge[i].dis) minn=min(minn,deep[edge[i].to]); if ((--num[deep[now]])==0) break;//GAP优化 出现了断层 num[deep[now]=minn+1]++; cur[now]=head[now]; if (now!=s) now=edge[last[now]^1].to; } } return maxflow; } void init() { num_edge = 0; memset(head,-1,sizeof(head)); id = top = cnt = 0; memset(low, 0, sizeof(low)); memset(dfn, 0, sizeof(dfn)); memset(belong, 0, sizeof(belong)); memset(instack, 0, sizeof(instack)); } int main() { init(); scanf("%d%d%d%d", &n,&m,&s,&t); node_num = n; for (int i = 1; i <= m; i++) { int u, v, w; scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w); add_edge(u, v, w); add_edge(v, u, 0);//正反向建图 } int maxflow = isap(s, t); for (int i = 1; i <= n; ++ i) if (!dfn[i]) tarjan(i); for (int i = 0; i < num_edge; i += 2) { int u = edge[i].from, v = edge[i].to; if (!edge[i].dis && belong[u] != belong[v]) { cout << "1 "; if (belong[u] == belong[s] && belong[v] == belong[t]) cout << 1 << endl; else cout << 0 << endl; } else cout << "0 0" << endl; } return 0; }
