数论模板

数论：

快速乘：

ll ModMul(ll a,ll b,ll n){//快速积取模 a*b%n
    ll ans=0;
    while(b){
        if(b&1)
        ans=(ans+a)%n;
        a=(a+a)%n;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

快速幂：

ll ModExp(ll a,ll b,ll n){  //快速幂取模 a^b%n
    ll ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
        ans=ModMul(ans,a,n);
        a=ModMul(a,a,n);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

Miller-Rabin素数检测算法：

 

bool miller_rabin(ll n){
    ll i,j,a,x,y,t,u,s=10;
    if(n==2)
        return true;
    if(n<2||!(n&1))
        return false;
    for(t=0,u=n-1;!(u&1);t++,u>>=1); //n-1=u*2^t
    for(i=0;i<s;i++){
        a=rand()%(n-1)+1;
        x=ModExp(a,u,n);
        for(j=0;j<t;j++){
            y=ModMul(x,x,n);
            if(y==1&&x!=1&&x!=n-1)
                return false;
            x=y;
        }
        if(x!=1)
            return false;
    }
    return true;
}

 

素数筛（线性筛）：

const ll maxn=100000001;
ll prime[maxn];      //就是个素数表
bool sf[maxn];        //判断这个数是不是素数，sf[i]中的i是从1到maxn的数
void sushu()
{         //核心 欧拉筛代码
    ll num=0;        //num 用来记筛到第几个质数
    memset(sf,true,sizeof(sf));
    sf[1] = false;
    sf[0] = false;  //1 0 特判 
    for(int i = 2;i <= maxn; i ++)
    {          //外层枚举1~maxn
        if(sf[i]) prime[++num] = i;      //如果是质数就加入素数表
        for(int j = 1;j <= num;j ++)
        {       //内层枚举num以内的质数
            if(i * prime[j] > maxn) break; //筛完结束
            sf[i * prime[j]] = false;      //筛掉...
            if(i % prime[j] == 0) break;   //避免重复筛
        }
    } 
}

 求前n个素数和与个数 O(n^(3/4))：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;

ll check(ll v, ll n, ll ndr, ll nv) {
    return v >= ndr ? (n / v - 1) : (nv - v);
}

// ll S[10000000];
// ll V[10000000];
ll primenum(ll n) // O(n^(3/4))
{
  ll r = (ll)sqrt(n);
  ll ndr = n / r;
  assert(r*r <= n && (r+1)*(r+1) > n);
  ll nv = r + ndr - 1;
  std::vector<ll> S(nv+1);
  std::vector<ll> V(nv+1);
  for(ll i=0;i<r;i++) {
    V[i] = n / (i+1);
  }
  for(ll i=r;i<nv;i++) {
    V[i] = V[i-1] - 1;
  }
  for(ll i = 0;i<nv;i++) {
    S[i] = V[i] - 1; //求素数个数
  }
  for(ll p=2;p<=r;p++) {
    if(S[nv-p] > S[nv-p+1]) {
      ll sp = S[nv-p+1]; // sum of primes smaller than p
      ll p2 = p*p;
  //    std::cout << "p=" << p << '\n'; // p is prime 
      for(ll i=0;i<nv;i++) {
        if(V[i] >= p2) {
          S[i] -= 1LL  * (S[check(V[i] / p, n, ndr, nv)] - sp);// //求素数个数
        }
        else break;
      }
    }
  }
  return S[0];
}
ll primesum(ll n) // O(n^(3/4))
{
  ll r = (ll)sqrt(n);
  ll ndr = n / r;
  assert(r*r <= n && (r+1)*(r+1) > n);
  ll nv = r + ndr - 1;
  std::vector<ll> S(nv+1);
  std::vector<ll> V(nv+1);
  for(ll i=0;i<r;i++) {
    V[i] = n / (i+1);
  }
  for(ll i=r;i<nv;i++) {
    V[i] = V[i-1] - 1;
  }
  for(ll i = 0;i<nv;i++) {
    S[i] = V[i] * ( V[i] + 1) / 2 - 1; //求素数和
  }
  for(ll p=2;p<=r;p++) { // p is prime 
    if(S[nv-p] > S[nv-p+1]) {
      ll sp = S[nv-p+1]; // sum of primes smaller than p
      ll p2 = p*p; 
      for(ll i=0;i<nv;i++) {
        if(V[i] >= p2) {
        S[i] -= p* (S[check(V[i] / p, n, ndr, nv)] - sp); //求素数和
        }
        else break;
      }
    }
  }
  return S[0];
}
int main(int argc, char const *argv[]) {
//  std::cout << primesum(1e6) << '\n';
  std::cout << primenum(1e10) << '\n';
  std::cout << primesum(2e6) << '\n';
  cerr << "Time elapsed: " << 1.0 * clock() / CLOCKS_PER_SEC << " s.\n";
  return 0;
}

 

 矩阵快速幂（嫖的）：

struct Mat
{
    LL m[101][101];
};//存储结构体
Mat a,e; //a是输入的矩阵，e是输出的矩阵
Mat Mul(Mat x,Mat y)
{
    Mat c;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j){
            c.m[i][j] = 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=n;++j){
            for(int k=1;k<=n;++k){
                c.m[i][j] = c.m[i][j]%mod + x.m[i][k]*y.m[k][j]%mod;
            }
        }
    }
    return c;
}
Mat pow(Mat x,LL y)//矩阵快速幂
{
    Mat ans = e;
    while(y){
        if(y&1) ans = Mul(ans,x);
        x = Mul(x,x);
        y>>=1;
    }
    return ans;
}

这里顺便再来几个常见的矩阵递推式：

1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常数）

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常数）

3.f(n) = f(n-1)+f(n-2)

,

 

欧拉函数 求 一个数的因子有多少个（大数 10^18级）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cstdlib>
#include <iomanip>
#include <cmath>
#include <cassert>
#include <ctime>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
#pragma comment(linker, "/stck:1024000000,1024000000")
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define max(x,y) (x>=y?x:y)
#define min(x,y) (x<=y?x:y)
#define MAX 100000000000000000
#define MOD 1000000007
#define pi acos(-1.0)
#define ei exp(1)
#define PI 3.1415926535897932384626433832
#define ios() ios::sync_with_stdio(true)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define mem(a) (memset(a,0,sizeof(a)))
typedef long long ll;
const int s=8;
char ch[26];
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c)
{
    a%=c;
    b%=c;
    ll ret=0;
    ll tmp=a;
    while(b)
    {
        if(b&1){
            ret+=tmp;
            if(ret>c) ret-=c;
        }
        tmp<<=1;
        if(tmp>c) tmp-=c;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
    ll ans=1;
    ll tmp=a%mod;
    while(n)
    {
        if(n&1) ans=mult_mod(ans,tmp,mod);
        tmp=mult_mod(tmp,tmp,mod);
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
    ll ret=pow_mod(a,x,n);
    ll last=ret;
    for(int i=1;i<=t;i++)
    {
        ret=mult_mod(ret,ret,n);
        if(ret==1 && last!=1 && last!=n-1) return true;
        last=ret;
    }
    if(ret!=1) return true;
    else return false;
}
bool miller_pabin(ll n)
{
    if(n<2) return false;
    if(n==2) return true;
    if((n&1)==0) return false;
    ll x=n-1;
    ll t=0;
    while((x&1)==0) {x>>=1;t++;}
    srand(time(NULL));
    for(int i=0;i<s;i++){
        ll a=rand()%(n-1)+1;
        if(check(a,n,x,t)) return false;
    }
    return true;
}
ll factor[110];
int tol=0;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    ll t;
    while(b)
    {
        t=a;
        a=b;
        b=t%b;
    }
    if(a>=0) return a;
    else return -a;
}
ll pollard_rho(ll x,ll c)
{
    ll i=1,k=2;
    srand(time(NULL));
    ll x0=rand()%(x-1)+1;
    ll y=x0;
    while(1)
    {
        i++;
        x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
        ll d=gcd(y-x0,x);
        if(d!=1 && d!=x) return d;
        if(y==x0) return x;
        if(i==k){y=x0;k+=k;}
    }
}
void findfac(ll n,ll k)
{
    if(n==1) return ;
    if(miller_pabin(n))
    {
        factor[tol++]=n;
        return ;
    }
    ll p=n;
    ll c=k;
    while(p>=n) p=pollard_rho(p,c--);
    findfac(p,k);
    findfac(n/p,k);
}
int main()
{
    ll n;
    scanf("%lld",&n);
    if(miller_pabin(n)) printf("2\n");
    else
    {
        findfac(n,107);
        ll ans=1;
        for(int i=0;i<tol;i++)
        {
            //printf("%lld ",factor[i]);
            ll pos=0;
            while(n>0 && (n%factor[i]==0))
            {
                pos++;
                n/=factor[i];
            }
//            printf("%lld %lld\n",factor[i],pos);
            if(pos) ans*=(pos+1);
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}

大数模板

//首先大数加法 两个大数相加
string sum(string s1,string s2)
{
    if(s1.length()<s2.length())
    {
        string temp=s1;
        s1=s2;
        s2=temp;
    }
    int i,j;
    for(i=s1.length()-1,j=s2.length()-1;i>=0;i--,j--)
    {
        s1[i]=char(s1[i]+(j>=0?s2[j]-'0':0));   //注意细节
        if(s1[i]-'0'>=10)
        {
            s1[i]=char((s1[i]-'0')%10+'0');
            if(i) s1[i-1]++;
            else s1='1'+s1;
        }
    }
    return s1;
}

//然后大数乘以整形数

string Multiply(string s,int x)  //大数乘以整形数
{
    reverse(s.begin(),s.end());
    int cmp=0;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        cmp=(s[i]-'0')*x+cmp;
        s[i]=(cmp%10+'0');
        cmp/=10;
    }
    while(cmp)
    {
        s+=(cmp%10+'0');
        cmp/=10;
    }
    reverse(s.begin(),s.end());
    return s;
}

//大数除以整形数


string Except(string s,int x)  //大数除以整形数
{
    int cmp=0,ok=0;
    string ans="";
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        cmp=(cmp*10+s[i]-'0');
        if(cmp>=x)
        {
            ok=1;
            ans+=(cmp/x+'0');
            cmp%=x;
        }
        else{
            if(ok==1)
                ans+='0';  //注意这里啊。才找出错误
        }
    }
    return ans;
}

//思想就是模拟乘法运算，用大数乘以另一个数的每一位然后大数相加就是ans

string sum(string s1,string s2)  //大数加法
{
    if(s1.length()<s2.length())
    {
        string temp=s1;
        s1=s2;
        s2=temp;
    }
    int i,j;
    for(i=s1.length()-1,j=s2.length()-1;i>=0;i--,j--)
    {
        s1[i]=char(s1[i]+(j>=0?s2[j]-'0':0));   //注意细节
        if(s1[i]-'0'>=10)
        {
            s1[i]=char((s1[i]-'0')%10+'0');
            if(i) s1[i-1]++;
            else s1='1'+s1;
        }
    }
    return s1;
}
 
string Mult(string s,int x)  //大数乘以整形数
{
    reverse(s.begin(),s.end());
    int cmp=0;
    for(int i=0;i<s.size();i++)
    {
        cmp=(s[i]-'0')*x+cmp;
        s[i]=(cmp%10+'0');
        cmp/=10;
    }
    while(cmp)
    {
        s+=(cmp%10+'0');
        cmp/=10;
    }
    reverse(s.begin(),s.end());
    return s;
}
string Multfa(string x,string y)  //大数乘法
{
    string ans;
    for(int i=y.size()-1,j=0;i>=0;i--,j++)
    {
        string tmp=Mult(x,y[i]-'0');
        for(int k=0;k<j;k++)
            tmp+='0';
        ans=sum(ans,tmp);
    }
    return ans;
}

//
string Multiply(string s,long x)  //大数乘以整形数
{
    reverse(s.begin(),s.end());
    long cmp=0;
    for(int i=0; i<s.size(); i++)
    {
        cmp=(s[i]-'0')*x+cmp;
        s[i]=(cmp%10+'0');
        cmp/=10;
    }
    while(cmp)
    {
        s+=(cmp%10+'0');
        cmp/=10;
    }
    reverse(s.begin(),s.end());
    return s;
}
string Remove_later(string s)   //删除一个字符串的后倒0
{
    int ok=1;
    for(int i=s.size()-1; i>=0; i--)
    {
        if(s[i]=='0'){
            s.erase(i);
        }
        else if(s[i]=='.')
        {
            s.erase(i);
            ok=0;
        }
        else
            ok=0;
        if(ok==0)
            break;
    }
    return s;
}
string factorial(string s,int n)   //浮点数的n次方
{
    if(n==0)
        return "1";
    string cmp="",count="";
    long x=0,point=0;
    for(int i=0; i<s.size(); i++)
        if(s[i]!='.')
        {
            cmp+=s[i];
            x=x*10+(s[i]-'0');
        }
        else
            point=s.size()-1-i;
    for(int i=1; i<n; i++)
    {
        cmp=Multiply(cmp,x);
    }
    int ans_point=cmp.size()-n*point;
    if(ans_point<0)
    {
        count+='.';
        for(int i=ans_point; i!=0; i++)
            count+='0';
    }
    string::iterator it=cmp.begin();
    if(ans_point>=0&&ans_point<cmp.size())
        cmp.insert(it+ans_point,'.');
    count+=(Remove_later(cmp));
    return count;
}

//字符串去除后导0函数，前导0可以先反转取后导。

string Remove_later(string s)   //删除一个字符串的后倒0
{
    for(int i=s.size()-1; i>=0; i--)
    {
        if(s[i]=='0')
            s.erase(i);
        else
            break;
    }
    return s;
}

 O(N)找出没有重复的数 （异或，前提是其他数都出现了两次）

int find(int[] arr){
    int tmp = arr[0];
    for(int i = 1;i < arr.length; i++){
        tmp = tmp ^ arr[i];
    }
    return tmp;
}

组合数打表（一）

原理：

• 

空间：O(nm)

时间：预处理O(nm)  查询O(1)

for(int i=0;i<=n;i++){
    c[i][0]=c[i][i]=1;
    for(int j=1;j<i;j++)
        c[i][j]=(c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%mod;
}

（二）

原理：费马小定理

空间：O(n)

时间：预处理O(n)      查询O(log p)

ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans = 1,base = a;
    while(b){
        if(b&1) ans = ans * base % mod;
        base = base * base % mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
void init(){
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=2e5;i++){
        f[i]=f[i-1]*i%mod;
    }
}
ll C(ll n,ll m){
    if(n<m) return 0;
     return 1ll*f[n]*qpow(f[m],mod-2)%mod*qpow(f[n-m],mod-2)%mod;
}

（三）lucas

#define int long long
int t,n,m,p,f[100005];
int pow(int x,int y,int p){ //快速幂
    x%=p;
    int ans=1;
    for(int i=y;i;i>>=1,x=x*x%p) if(i&1) ans=ans*x%p;
    return ans;
}
int C(int n,int m,int p){ //求组合数
    if(m>n) return 0;
    return ((f[n]*pow(f[m],p-2,p))%p*pow(f[n-m],p-2,p)%p);
}
int lucas(int n,int m,int p){ //Lucas定理
    if(!m) return 1;
    return C(n%p,m%p,p)*lucas(n/p,m/p,p)%p;
}
signed main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        f[0]=1;
        for(int i=1;i<=p;i++)
            f[i]=(f[i-1]*i)%p;
        printf("%lld\n",lucas(n+m,m,p));
    }
}