拟阵

首先定义一个拟阵为 $M=(S,L)$，满足以下性质：

1. $S$ 为一个集合，$L$ 中元组是 $S$ 的子集。

2. $L$ 满足遗传性，即 $X\subseteq Y,Y\in L$，则 $X\in L$。

3. $L$ 满足交换性，即 $\mathrm{\forall }X,Y\in L,|X|<|Y|,\mathrm{\exists }u\in Y,u\notin X$，则 $X\cup \{u\}\in L$。

定义独立集 $T\in L$ 满足，$\mathrm{\forall }u\in S,T\cup \{u\}\notin L$。

给每个 $u\in S$ 一个权 $w(u)$，一个 $S$ 的子集权值是其中元素权值之和。

定义最大权独立集是独立集中权值最大的。

引理：设 $T$ 为最大权独立集的子集，设 $P=\{x\in S|x\cup T\in L\}$ 取出 $P$ 中 $w(u)$ 做大的元素 $u$，有 $T^{\prime }=T\cup \{u\}$ 也是最大权独立集的子集。

反证：首先由遗传性，$T\in L$，设 $T^{\prime }$ 不是最大权独立集的子集，设 $G$ 为最大权独立集，且 $T\subseteq G$。

如果 $|T^{\prime }|<|G|$，考虑利用交换性使得 $|T^{\prime }|=|G|$，设补元素后的 $T^{\prime }$ 为 $T^{\prime \prime }$。

由于 $T\subseteq G$，所以 $T^{\prime \prime }$ 和 $G$ 只相差一个元素。

显然 $u=T^{\prime \prime }/G$，设 $v=G/T^{\prime \prime }$，如果 $w(v)>w(u)$ 那么显然之前不会选择 $u$，而是 $v$。

如果 $w(u)\ge w(v)$ 那么显然 $T^{\prime \prime }$ 是最大权独立集。

固引理成立。

这给我们一个启发，就是贪心从大到小加一定可以得到全局最优。