拟阵

首先定义一个拟阵为 \(M=(S,L)\)，满足以下性质：

1. \(S\) 为一个集合，\(L\) 中元组是 \(S\) 的子集。

2. \(L\) 满足遗传性，即 \(X \subseteq Y,Y \in L\)，则 \(X \in L\)。

3. \(L\) 满足交换性，即 \(\forall X,Y \in L,|X|<|Y|, \exists u \in Y,u \not \in X\)，则 \(X \cup\{ u \} \in L\)。

定义独立集 \(T \in L\) 满足，\(\forall u \in S,T \cup \{ u \} \not \in L\)。

给每个 \(u \in S\) 一个权 \(w(u)\)，一个 \(S\) 的子集权值是其中元素权值之和。

定义最大权独立集是独立集中权值最大的。

引理：设 \(T\) 为最大权独立集的子集，设 \(P=\{x \in S|x \cup T \in L\}\) 取出 \(P\) 中 \(w(u)\) 做大的元素 \(u\)，有 \(T^{\prime} =T \cup \{ u \}\) 也是最大权独立集的子集。

反证：首先由遗传性，\(T \in L\)，设 \(T^{\prime}\) 不是最大权独立集的子集，设 \(G\) 为最大权独立集，且 \(T \subseteq G\)。

如果 \(|T^{\prime}|<|G|\)，考虑利用交换性使得 \(|T^{\prime}|=|G|\)，设补元素后的 \(T^{\prime}\) 为 \(T^{\prime\prime}\)。

由于 \(T \subseteq G\)，所以 \(T^{\prime\prime}\) 和 \(G\) 只相差一个元素。

显然 \(u=T^{\prime\prime} / G\)，设 \(v=G/T^{\prime\prime}\)，如果 \(w(v)>w(u)\) 那么显然之前不会选择 \(u\)，而是 \(v\)。

如果 \(w(u)\geq w(v)\) 那么显然 \(T^{\prime\prime}\) 是最大权独立集。

固引理成立。

这给我们一个启发，就是贪心从大到小加一定可以得到全局最优。