OGF学习笔记

学习笔记：$\text{OGF}$

定义$\text{(OGF)}$：实数序列 $a_0,a_2,\cdots ,a_n$ 的普通生成函数是无穷级数

$$G(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i$$

引入一些比较经典的生成函数：

斐波那契生成函数：

由：$a_0=0,a_1=1,a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(n>1)$

有：

$$F(x)=xF(x)+x^{2}F(x)+a_0+a_{1}x-a_{0}x$$

$$\therefore F(x)={\displaystyle \frac{x}{1-x-x^2}}$$

考虑如何将其展开。

考虑等比数列的封闭形式与展开形式。

待定系数可得：

$${\displaystyle \frac{x}{1-x-x^2}}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}}{1-{\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}x}}+{\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}}{1-{\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}x}}$$

那么我们根据等比数列的展开式，就可以得到斐波那契数列的通项公式：

$${\displaystyle \frac{x}{1-x-x^2}}=\sum _{x\ge 0}{x}^n{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}}({\left({\displaystyle \frac{1+\sqrt{5}}{2}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{1-\sqrt{5}}{2}}\right)}^n)$$

卡特兰数的生成函数：

卡特兰数的递推式：

$$H_n=\sum _{i=0}^{n-1}{H}_i{H}_{n-i-1}$$

其中

我们用卷积来构造关于 $H(x)$ 的方程：

$$H(x)=\sum _{n\ge 0}{H}_n{x}_n$$

$$=1+\sum _{n\ge 1}\sum _{i=0}^{n-1}{H}_n{x}^i{H}_{n-i-1}{x}^{n-i-1}x$$

$$=1+x{H}^2(x)$$

解得：

$$H(x)={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x}}$$

由于 $H_0=H_1=1$。

$$\therefore H(x)={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}}$$

我们运用牛顿二项式定理。

$$(1-4x{)}^{\frac{1}{2}}=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{\frac{1}{2}}{n})}(-4x{)}^n$$

$$(1-4x{)}^{\frac{1}{2}}=1+\sum _{n\ge 1}\frac{(\frac{1}{2}{)}^{\underset{―}{n}}}{n!}(-4x{)}^n$$

注意到 $(\frac{1}{2}{)}^{\underset{―}{n}}={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!}}$

带回原式：

$$(1-4x{)}^{\frac{1}{2}}=1+\sum _{n\ge 1}{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!n!}}(-4x{)}^n$$

$$(1-4x{)}^{\frac{1}{2}}=1-\sum _{n\ge 1}{\displaystyle \frac{(2n-2)!}{(n-1)!n!}}2x^n$$

$$(1-4x{)}^{\frac{1}{2}}=1-\sum _{n\ge 1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n})}{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}2x^n$$

带回原式：

$$H(x)={\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{1-4x}}{2x}}$$

$$H(x)={\displaystyle \frac{1}{2x}}\sum _{n\ge 1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n})}{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}2x^n$$

$$H(x)=\sum _{n\ge 1}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-1}{n})}{\displaystyle \frac{1}{2n-1}}{x}^{n-1}$$

$$H(x)=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+1}{n+1})}{\displaystyle \frac{1}{2n+1}}{x}^n$$

$$H(x)=\sum _{n\ge 0}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}{\displaystyle \frac{1}{n+1}}{x}^n$$

这样我们就得到了卡特兰数的通项公式。

练手题：

p3978

这道题明显是卡特兰数的变式题：

设 $h_i$ 表示这 $H_i$ 个二叉树的叶子节点个数之和，有 $h_0=0,h_1=1$。

我们可以根据对称性及其定义可得：

$$\mathrm{\forall }n\ge 2:h_n=2\sum _{i=0}^{n-1}{h}_i{H}_{n-i-1}$$

根据生成函数乘法性质：

$$h(x)-h_0-h_{1}x=2h(x)H(x)x$$

根据 $\therefore H(x)={\displaystyle \frac{1+\sqrt{1-4x}}{2x}}$

有：

$$h(x)={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1-4x}}}$$

$$h(x)=x\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{i})}(-4x{)}^i$$

$$h_n={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{-\frac{1}{2}}{n-1})}(-1{)}^{n-1}{2}^{2(n-1)}={\displaystyle \frac{\prod _{i=0}^{n-2}(-\frac{1}{2}-i)}{(n-1)!}}(-1{)}^{n-1}{2}^{2(n-1)}$$

$$={\displaystyle \frac{(2n-3)!!}{(n-1)!}}{2}^{n-1}={\displaystyle \frac{(2n-2)!}{((n-1)!{)}^2}}={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{2n-2}{n-1})}$$

那么题意所求的期望为：

$${\displaystyle \frac{h_n}{H_n}}={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2(2n-1)}}$$

p4841

这里设 $f_n$ 为点数为 $n$ 的无向连通图，$g_n$ 为点数为 $n$ 的无向图

显然：

$$g_n=\sum _{i=1}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})}{f}_i{g}_{n-i}$$

仔细思考，又有： $g_n=2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}$。

带入式子：

$$2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}=\sum _{i=1}^n{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{i-1})}{f}_i{2}^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{2})}$$

$${\displaystyle \frac{2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}}{(n-1)!}}=\sum _{i=1}^n{\displaystyle \frac{f_i}{(i-1)!}}{\displaystyle \frac{2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-i}{2})}}{(n-i)!}}$$

然后定义：

$$f(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f_n}{(n-1)!}}{x}^i$$

$$g(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}}{n!}}{x}^i$$

$$h(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2^{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})}}{(n-1)!}}{x}^i$$

$g(x),h(x)$ 都是已知的，对 $g$ 进行多项式求逆，再乘 $h$ 即可。

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