组合计数相关
1.二项式相关定理
-
\(\dbinom{a}{b}\dbinom{b}{c}=\dbinom{a}{c}\dbinom{a-c}{b-c}\)
-
\(\sum\limits_{i=0}^{m}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{i}=\dbinom{n+m}{m}(n \geq m)\)
-
\(\sum\limits_{i=m}^{n}\dbinom{i}{m}=\dbinom{n+1}{m+1}\)
-
\(F_{n+1}=\sum\limits_{i=0}^{n} \dbinom{n-i}{i}\)
-
\(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n} \dbinom{n}{i} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i}\dbinom{n}{i} g_{i}\)
-
\(g_n=\sum\limits_{i=n}^{m} \dbinom{i}{n} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=n}^{m} (-1)^{i-n}\dbinom{i}{n} g_{i}\)
-
若 \(\forall i,\sum\limits_{j=i}^{n} a_{n,j} \times b_{j,i}=[n=i]\),即对于 \(\forall i<j, b_{i,j}=a_{i,j}=0,A \times B=I\) 则有:\(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n} a_{n,i} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} b_{n,i} g_{i}\)
-
\(\sum\limits_{i=0}^{k}\dbinom{n}{i}\dbinom{m}{k-i}=\dbinom{n+m}{k}\)
2.错排
-
容斥,\(D_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} n^{\underline{i}}\)
-
递推,\(D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})\)
-
\(D_n=nD_{n-1}+(-1)^n\)
3.容斥
普通容斥:
-
\(\begin{vmatrix}\bigcup\limits_{i \in U} S_i\end{vmatrix}=\sum\limits_{T \subseteq U, i \not=\varnothing} (-1)^{|T|-1} \begin{vmatrix}\bigcap\limits_{i \in T} S_i\end{vmatrix}\)
-
\(\begin{vmatrix}\bigcup\limits_{i \in U}S_i\end{vmatrix}=|U|-\begin{vmatrix}\bigcap\limits_{i \in U} \overline{S_i}\end{vmatrix}\)
-
\(f_S=\sum\limits_{T \subseteq S} g_T \xrightarrow{} g_S=\sum\limits_{T \subseteq S} (-1)^{|S|-|T|}f_T\)
\(\text{min-max}\) 容斥:
-
\(\max\limits_{i \in S}\{a_i \}=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} \min\limits_{i \in T}\{a_i \}\)
-
\(\min\limits_{i \in S}\{a_i \}=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} \max\limits_{i \in T}\{a_i \}\)
稍微扯一下证明,把第 \(k\) 的元素 \(x\) 映射到一个集合,\(f(x)=\{1,2,\dots,k\}\),双yishi射显然。
不难得出:\(f(\min\{x,y\})=f(x) \cap f(y) ,f(\max\{x,y\})=f(x) \cup f(y)\)
那么根据普通容斥的 \(1\) 式可得证。
-
\(E(\max\limits_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} E(\min\limits_{i \in T}\{a_i \})\)
-
\(E(\min\limits_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-1} E(\max\limits_{i \in T}\{a_i \})\)
这可能是 \(\text{min-max}\) 容斥最有用的一部分。
-
\(E(\text{kmax}_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-k} C_{|T|-1}^{k-1} E(\min\limits_{i \in T}\{a_i \})\)
-
\(E(\text{kmin}_{i \in S}\{a_i \})=\sum\limits_{T \subseteq S,T \not= \varnothing}(-1)^{|T|-k} C_{|T|-1}^{k-1} E(\max\limits_{i \in T}\{a_i \})\)
这都是易证的。
- \(\text{lcm}_{i \in S}\{a_i \}=\prod\limits_{T \subseteq S} \left(\gcd\limits_{i \in T}\{ a_i \} \right)^{(-1)^{|T|-1}}\)
这可以看成质因数分解后每个质因子做 \(\text{min-max}\) 容斥。
4.卡特兰数
-
\(H_n=[n>1]\sum\limits_{i=0}^{n-1} H_{i}H_{n-i-1}+[n \leq 1]\)
-
\(H_n=[n>1]\dfrac{\binom{2n}{n}}{n+1}+[n \leq 1]\)
-
\(H_n=[n>1]\left(\dbinom{2n}{n}-\dbinom{2n}{n-1}\right)+[n \leq 1]\)
-
\(H_n=\dfrac{H_{n-1}(4n-2)}{n+1}\)
5.斯特林数
第二类斯特林数:
-
\(S(n,k)=\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\k-1\end{Bmatrix}+k\begin{Bmatrix}n-1\\k\end{Bmatrix}\)
-
\(S(n,k)=\sum\limits_{i=0}^{k} \dfrac{(-1)^{k-i}i^n}{i!(k-i)!}\)
-
设 \(F(x)=\sum\limits_{i>0} \dfrac{x^i}{i!}\),第 \(k\) 行的生成函数为 \(\dfrac{F^k(x)}{k!}\)
第一类斯特林数:
-
\(s(n,k)=\begin{bmatrix}n \\ k \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}n-1 \\ k-1 \end{bmatrix}+(n-1)\begin{bmatrix}n-1 \\ k \end{bmatrix}\)
-
\(x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} x^i\)
-
设 \(F(x)=\sum\limits_{i>0} \dfrac{x^i}{i}\),第 \(k\) 行的生成函数为 \(\dfrac{F^k(x)}{k!}\)
上下升幂和幂次相关:
-
\(x^{\overline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} x^i\)
-
\(x^{\underline{n}}=\sum\limits_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{n-i} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} x^i\)
-
\(x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} x^{\underline{i}}\)
-
\(x^{n}=\sum\limits_{i=0}^{n} \left( -1 \right)^{n-i} \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} x^{\overline{i}}\)
斯特林反演:
根据各反演推导不难得出:
-
\(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} g_{i}\)
-
\(g_n=\sum\limits_{i=0}^{n}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} f_{i} \xrightarrow{} f_n=\sum\limits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} \begin{bmatrix}n \\ i \end{bmatrix} g_{i}\)
6.欧拉数
-
\(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle=(k+1)\left\langle\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}\right\rangle+(n-k)\left\langle\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}\right\rangle\)
-
\(\left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle=\sum\limits_{i=0}^{k}(-1)^{i} \dbinom{n+1}{i}(k+1-i)^{n}\)
-
\(x^n=\sum\limits_{k} \left\langle\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right\rangle \dbinom{x+k}{n}\)