人类智慧题
赛时绝对想不到的人类智慧。
\(\text{2022.8.3} \ \text{gdfz} \ \text{contest} \ \text{A}\)
题意：给定一个 \(n \times m\) 的网格图，两人在图上博弈，图上有硬币，障碍，空地，轮流操作。
每次操作可以将任意一个硬币移动，假如这个硬币位于 \(i,j\) ，那么它可以移动到 \((i+1,j),(i,(j+1) \% m),(i,(j-1) \% m)\) 其中之一，移动到的位置没有障碍。
不能移动到这个棋子之前移动到的位置，不能操作的输。求谁必胜。
眨眼一看这是一道 \(ex\) 题，但他显然可以看成每个硬币。
那我们开始玩性质：
设 \(sg_{i,j}\) 表示 \((i,j)\) 的 \(sg\) 值， \(L_j\) 表示现在这一行第 \(j\) 个位置不能向右走的 \(sg\) 值， \(R_j\) 表示现在这一行第 \(j\) 个位置不能向左走的 \(sg\) 值。
那么根据 \(sg\) 的定义： \(sg_{i,j}=\text{mex} (sg_{i+1,j},L_{i-1},R_{i+1})\) 。
我们发现对于这一行有障碍物的时候 \(L,R\) 是不变的，所以我们考虑没有障碍物的情况。
我们发现 \(sg\) 之多为 \(3\) ，对于 \(L,R\) 会随着求点变动而变动。
设 \(Lf_{j,k}\) 表示 \(L_{j}=k\) 时， \(L_m\) 的值；\(Lt_{j,k}\) 表示 \(L_{1}=k\) 时， \(L_j\) 的值；\(Rf_{j,k}\) 表示 \(R_{j}=k\) 时， \(R_1\) 的值；\(Rt_{j,k}\) 表示 \(R_{m}=k\) 时， \(R_j\) 的值。
对于 \(Lf,Rf,Lt,Rt\) 可以 \(O(n)\) 预处理，考虑 \(sg_{i,j}\) 怎么求。
根据定义 \(sg_{i,j}=\text{mex} (sg_{i+1,j},L_{j-1},R_{j+1})\) 。
考虑求出 \(L_{j-1}\) ，由于 \(Lt\) 的定义， \(L_{j-1}=Lt_{j-1,L_1}\) ，而 \(L_1=\text{mex} (L_m,sg_{i+1,1})\) ，而根据 \(Lf\) 的定义又有 \(L_m=Lf_{j,L_j}\) 。
我们考虑 \(L\) 的定义，显然 \(L_j\) 必定是没有取值的，而保证不对答案产生影响，设 \(L_j=3\) 即可。
即 \(L_{j-1}=\text{mex} (Lf_{j,3},sg_{i+1,1})\) ，这玩意显然 \(O(1)\) 。
对于 \(R_{i+1}\) ，此时同样可以求解。
复杂度 \(O(nm)\) 。
\(\text{2022.8.4} \ \text{gdfz} \ \text{contest} \ \text{D}\)
题意：给定 \(n,m,a,b,c,mod\) ，求 \(n\) 此次操作后， \(a,b,c\) 都为 \(m\) 的倍数的方案数对 \(mod\) 取模。
操作如下：
-
取一个数 \(+1\) 或 \(-1\) 。
-
三个数 \(+1\) 或 \(-1\) 。
真的人类智慧，赛时 \(ac\) 都是神仙。
我们考虑转化操作，我们将 \(a,b,c\) 整体加 \(n\) 。
这样每次操作都要全体 \(-1\) 。
操作将转化成：
-
取一个数不变，其他 \(-1\) 。
-
取一个数 \(-2\) ，其他 \(-1\) 。
3.不变。
- 全体 \(-2\) 。
我们考虑如下 \(3\) 个操作组合成上面任意一种操作。
我们将操作描述成一个三元组：
\((0,-1,-1)\)
\((-1,0,-1)\)
\((-1,-1,0)\)
对于如上 \(3\) 种操作，每种取的方案数即为 \([0,n]\) 。
我们设其分别取 \(x,y,z\) ，考虑算出 \(x,y,z\) 在模 \(m\) 意义下的取值。
有：
\(y+z\equiv a+n\pmod m\)
\(z+x\equiv b+n\pmod m\)
\(x+y\equiv c+n\pmod m\)
设 \(A=a+n,B=b+n,C=c+n\)
有 \(m \% 2 = 1\) 时，显然的事实是方程有唯一解。
\(x \equiv \dfrac{A+B+C}{2}-A \pmod m\)
\(y \equiv \dfrac{A+B+C}{2}-B \pmod m\)
\(z \equiv \dfrac{A+B+C}{2}-C \pmod m\)
对于 \(m \% =0\) 时，显然解是 \(O(1)\) 的。
对于 \(A,B,C\) ，因为 \(x,y,z\) 都是模 \(m\) 意义下的，只有可能是 \(A,A+m,B,B+m,C,C+m\) 。
枚举 \(A,B,C\) 取值，算出 \(x,y,z\) 即可。
复杂度 \(O(n+m)\) 。
