倍频程与钢琴调式的距离
单从倍频程和钢琴调式这两个名词看，距离确实有点远，一个偏科技一个偏娱乐。但是距离远不代表没有关系，下面就让我们给它们俩拉拉关系吧。
作者：良逸，阿里云技术专家，阿里云音视频通信 QoS 研发
什么是倍频程
首先什么是倍频程？从中文字义上看，就是“X 倍频率的范围”，是截至频率和起始频率之比成倍数关系的频段。与之相对应的另一个概念是等宽频程，意思是截止频率和起始频率之差相等的频段。具体定义如下：
等宽频程
ƒ1 -ƒ2= 常量 ( ƒ2 是截至频率，ƒ1 是起始频率)
倍频程
ƒ2 / ƒ1 = 常量（ ƒ2 是截至频率，ƒ1 是起始频率)
并且
ƒ2 / ƒ1 = 2n 这个指数n就是 n倍频程
表达式
n = log2（ƒ2 / ƒ1 ）
例如，起始频率 ƒ1 =100Hz，它的一倍频程的截止频率 ƒ2=200Hz，即 2 的 1 次幂（2倍）的 ƒ1 ；它的 1/2 倍频程的截至频率 ƒ2 = 141Hz，即 2 的 1/2 次幂的 ƒ1 ，2 的平方根倍；同样它的 1/3 倍频程的截止频率，就是 2 的三次方根倍的起始频率。
为什么要用倍频程?
我们知道人耳的听觉的频率感知范围在 20Hz-20000Hz，范围非常的广，分析的时候，需要将这个频率范围划分成不同的频段（频带）来分析，怎么划分呢？于是有了上文的两种划分方式，一种是等宽频程，意味着每个划分的频带宽度是相等的；另一种是倍频程，意味着每个划分的频带宽度与上一个紧邻的频带宽度符合等比数列。
如果采用等宽频程，要表现出低频到高频的声音信息需要的数据量非常大，效率比较低，而且人耳对高低频率的敏感程度是不一样的，通常人耳对低频部分的频率变化比较敏感，而对高频部分的频率变化不太敏感，所以采用倍频程更符合人耳的听力特点，而且提高了频带数据的分析效率。
还有一个跟倍频程有关的概念是中心频率，每频程的上限与下限频率的“几何平均值”称为该频程的中心频率 ƒ0 。特定的中心频率 ƒ0 就代表了一个特定的频段， ƒ0 作为基准频率，只要确定了基准频率，整个 20Hz-20000Hz 的频率范围，就可以按照倍频程的定义分段展开。通常显示倍频程，是以其带宽的中心频率线性间隔的，这叫做倍频程格式。这会导致倍频程在频谱图对应的横轴上出现相同的间隔，即使它们间隔不是均匀的。如下图所示（引用网络公开测试结果，数据来源见图片下方）：
数据来源：https://community.sw.siemens.com/s/article/octaves-in-human-hearing
同一个白噪声表现为窄带（蓝色）和倍频程（紫色）格式，x轴是倍频程格式。注意到，与较高频率的倍频程段相比，较低频率处的倍频带的填充数据较少。如上表格所示，这是因为较高频率的倍频带覆盖的频率范围，相比较低频率的倍频带要宽。如果将x轴线性绘制的话，效果如下图所示（引用网络公开测试结果，数据来源见图片下方）：
数据来源：https://community.sw.siemens.com/s/article/octaves-in-human-hearing
与倍频程格式相比，上图绘制了与之前相同的白噪声数据，但x轴是线性格式。可以看出，功率谱（蓝色）在所有频率下具有相同的密度，但每个倍频带（紫色）覆盖的频率范围越来越大。
另外，因为选取不同的基准频率，最终展开的频段格式也不一样，那如何来选取基准频率呢？标准化组织根据不同的应用场景就给出了不同的倍频程的标准定义。在声学测量中一般采用 1/3 倍频程来对频谱进行分析，国标《GB 3240-1982 声学测量中的常用频率》中对其标准频率有如下的定义：
八度音阶
从这里开始我们看一下倍频程跟音乐有什么关系。我们搜索“倍频程”英文翻译的时候，会发现如下结果：
为什么倍频程跟八度音阶都是 Octave 一个词呢？其实倍频程是借用了八度音阶的理论，因为历史上人们对音乐的认知要早于信号频谱分析的理论的掌握。根据人们的经验，音调升高一个八度，频率就增加一倍，近代频谱分析技术出现后，恰好发现这个刚好满足倍频规律。因此就按频率重新定义八度音阶。其实八度音阶在频率这个概念出现前就有了。
我们大家都知道，简谱中的八度音阶是这个样子的：
低音 do 跟高音 do 之间相差 8 度音，也知道女生一般比男生声音高 8 度。
这里还要说一下音高的概念，音高的英文是 pitch，而 pitch 又翻译成基音，而且 Opus 编码器里面有个功能叫 Pitch Detection，翻译成基因检测，那基音跟音高是啥关系呢？物体震动产生的声音，其中包含很多频率成分，最低的那个频率称为基频，对应产生的声音就叫基音，其他的谐波频率成分产生的声音就叫泛音。其中基音决定了人耳听到的声音的音高，而泛音形成了不同的音色，不同乐器有不同的音色，就是因为其产生的泛音成分不一样。与倍频程相关的频率划分，以及与八度音阶相关的音高，都是指的基音的频率，与泛音没有关系。
十二平均律
我们再看一下八度音阶的特点。
我们会发现 mi 和 fa，及 si 和高音 do 之间是半音关系，其它每个音之间是全音关系。所谓半音关系意味着，半音关系的音高比全音关系的音高少一半。如果把八度音阶，按半音的频宽展开的话，将会产生 12 个半音宽的频带，这就是所谓的十二平均律，又叫十二等程律，现在的钢琴就是根据十二平均律定音的。终于跟钢琴扯上关系了。
我们又知道一个八度音阶，对应的低频和高频相差1倍，即一个倍频程，那等程分成 12 份的话，那对应的就是 1/12 倍频程。音乐领域的标准化又来了，下图就是国际标准音高与频率对照表：
此表规定 A4 的频率 440Hz 作为基准频率，按照 1/12 倍频程的关系将频谱展开，就得到了每个标准钢琴琴键对应的音高频率。同样钢琴上的中央 C，对应的就是 C4 的键 261.63Hz。
音名和唱名
我们看到八度音阶是 1234567（do re mi fa sol la si），而这里又出现了 CDEFGAB，学过音乐的人都知道，一个是唱名一个是音名。唱名是演唱用的，而音名则是与固定频率或音高挂钩的，不同的是，同一个唱名可以放在不同的音名上，可以在钢琴琴键上左右移动，但是不同的音名则是与固定频率挂钩，是不会移动的。
钢琴调式
有了全音、半音、音名、唱名，以及唱名可以在琴键上移动，就产生了调式。
首先，全音和半音的关系，决定了是大调还是小调。凡是音阶排列符合【全、全、半、全、全、全、半】结构的音阶，就是大调。一般来说，一首音乐作品的主音符是使用 1、3、5 的，而结束在 1 上的就是大调音乐。
凡是音阶符合【全、半、全、全、半、全、全】结构的音阶，就是小调。小调音乐一般第一个音符是从 6 或 3 开始，而结束在 6 上。
当然大小调还按照不同的变音规则有很多其他细分，这里就不深究了。
其次，又因为唱名可以在琴键上移动，当主音符的 do 移动到 C 上，这时的大调就称做 C 大调，同理，当主音符的 do 移动到 D 上，这时的大调就称做 D 大调，而小调，也是这么定义的。
到此，终于给这两个看似不相关的名词拉上关系了，是不是还有点意思？
