牛顿迭代法学习笔记

牛顿迭代

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我们一般对一个函数求区间最值，通常单调的二分，单峰的三分。
但是这里有更快的方法。
下面给一个Wiki的动态图

我们发现对一个函数，求它的零点（也就是$y=0$的点，与$x$轴相交），我们先取一个点，然后求它的切线，切线与$x$轴的交点的$x$坐标为下一个点的$x$坐标，我们会发现在函数收敛的情况下，它会越来越接近零点，接近速度取决于收敛速度。

但是如下图的函数则无法牛顿迭代（图片上的函数错了，应该为$y=\frac{5}{1+e^{-x}}-1$）。

所以我们要求一个函数的最值，可以先求它的一阶导数，然后牛顿迭代求它的一阶导数的零点即可。
公式如下：
$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
可以通过迭代次数来控制精度。

下面给一个神奇的开根法：

const double eps=1e-15;
double Newton_Sqrt(double a){
	double x=0x5f375a86;
	while(x*x<a)x*=2;
	while(x*x-a>eps){x=x-(x*x-a)/(2*x);}
	return x;
}

那个系数，很多讲牛顿迭代的博客都有，是一款游戏源码中的（作者tql%%%）。

如果迭代二阶导数的零点，就是求的原函数的斜率的极值。

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后期再更新吧，留坑（QAQ继续学习）