splay的模板以及各种操作的简单实现
splay
一种基于旋转操作的平衡树，所以没法持久化可持久化的去看fhq-treap
关于splay的一些基本操作复杂度正确性证明和实现可以参考网上其他博客，这里就不在详细说明。
一些定义
先简单说明代码中的变量含义：
f[a]表示splay的节点的父亲节点
son[0/1][a]表示splay的节点的左右儿子，为左儿子为右儿子（数组小的一维开在前面可节约寻址时间）。
sze[a]表示splay的节点的子树大小。
tim[a]表示splay的节点所代表的值出现次数。
val[a]表示splay的节点的值
mem[a]废弃节点回收站（省空间用的）
rootsplay的根节点
tot当前总共节点的编号
其中的pushup操作为上传儿子信息更新节点。
一般为
void pushup(int o){
if(!o)return;
sze[o]=sze[son[0][o]]+sze[son[1][o]]+tim[o];
}
如果有标记下放的话（比如区间修改的lazy标记），还有pushdown函数。
基本操作：
旋转节点
void rotate(int a,bool k){
int now=f[a];
son[k][now]=son[k^1][a];
f[son[k][now]]=now;
bool kw=(son[1][f[now]]==now);
if(f[now])son[kw][f[now]]=a;
f[a]=f[now];f[now]=a;son[k^1][a]=now;
pushup(now);pushup(a);
}
将一个点翻转到某个点的儿子处
void splay(int a,int to){
//a->to
while(f[a]!=to){
bool k=(son[1][f[a]]==a);
if(f[f[a]]==to) rotate(a,k);
else{
int b=f[a];bool kw=(son[1][f[b]]==b);
if(son[kw^1][b]==a) rotate(a,k);
else rotate(b,k);
rotate(a,kw);
}
}
pushup(a);
if(!to)root=a;//如果翻转到0号节点的儿子就相当于根节点
}
新建节点
int newnode(int fa,int v){
int now;
if(top){//这里使用节点回收方式
now=mem[top--];
if(son[0][now])mem[++top]=son[0][now],son[0][now]=0;
if(son[1][now])mem[++top]=son[1][now],son[1][now]=0;
tim[now]=1;sze[now]=1;val[now]=v;f[now]=fa;
}else{//直接新建一个
now=++tot;
tim[now]=1;sze[now]=1;val[now]=v;
f[now]=fa;son[0][now]=son[1][now]=0;
}//返回当前节点编号
return now;
}
插入操作
因为splay也是一颗二叉树，满足，也就是左儿子（子树中）值小于当前节点值小于右（子树中）儿子值，所以插入时，按照大小关系一路走下去，遇到一样的直接计数即可，走到空的了就直接建新节点就好啦。
void insert(int v){
if(!root){root=newnode(0,v);return;}//当前是空的splay
int now=root,fa=0;
while(1){
//二叉树搜索需要插入在哪里，如果当前节点的值等于插入值，直接计数
if(val[now]==v){++tim[now];pushup(now);pushup(fa);splay(now,0);break;}
fa=now;now=son[val[fa]<v][fa];//如果比当前的节点值大去右儿子，小就去左儿子
if(!now){//空节点
now=newnode(fa,v);
son[val[fa]<v][fa]=now;
pushup(fa);splay(now,0);//splay(now,root)
//记住每次查询后splay就可以在这里写splay(now,0),splay(now,0)的插入总复杂度为$O(插入节点数)$
//否则不要splay到0，否则超时！！！
//因为给的是一个递增的序列的话，每次splay到0就会退化成一条链，然后每次询问如果没有splay，也就是翻转操作的话复杂度会退化
break;
}
}
}
初级操作：
查找某个值的节点编号
按插入的方式走就好啦！
int findnumpos(int num){
int now=root;
while(1){
if(!now) return -1;//没有这个值
if(val[now]==num){
splay(now,0);//记得翻转，根据势能分析，这样会使复杂度更优秀
return now;
}
if(val[now]<num){
now=son[1][now];
}else if(val[now]>num){
now=son[0][now];
}
}
}
查找某个排名的节点编号
查找第个，从根节点往下走，如果左边的节点数大于，直接去左边
否则，减去左边大小，看是否在当前节点内，是就直接返回
否则，减去当前节点大小，去右边。
int findkthpos(int kth){
int now=root;
while(1){
if(!now) return -1;
if(sze[son[0][now]]>=kth){
now=son[0][now];//左边
continue;
}
kth-=sze[son[0][now]];//减去左边大小
if(tim[now]>=kth){//在当前的里面
splay(now,0);//查询完后splay
return now;
}
kth-=tim[now];//减去当前大小
now=son[1][now];//去右边
}
}
查找排名第的值
同找编号那个，只不过返回值即可。
int findkth(int kth){
int now=root;
while(1){
if(!now) return -1;
if(sze[son[0][now]]>=kth){
now=son[0][now];
continue;
}
kth-=sze[son[0][now]];
if(tim[now]>=kth){
splay(now,0);//查询完后splay
return val[now];
}
kth-=tim[now];
now=son[1][now];
}
}
查找某个值的排名
同样的操作，每次走的时候记录前面已经有多少个节点即可。
int findnum(int num){
int now=root,ans=0;
while(1){
if(!now) return -1;//找不到
if(val[now]==num){
ans=ans+sze[son[0][now]]+1;//记得+1，当前节点中要算一个
splay(now,0);
return ans;//查询完后splay
}
if(val[now]<num){//去右边加上左边的大小
ans+=sze[son[0][now]]+tim[now];
now=son[1][now];
}else if(val[now]>num){
now=son[0][now];
}
}
}
中级操作：
查找前驱
查找一个节点比它小的最大的一个。
将这个数字翻转到根节点，它的左子树内就是所有比它小的点，然后在里面找到最大的一个，也就是一值在里面走右儿子即可（左边的最右边的节点）。
int pre(int x){
splay(x,0);
int now=son[0][x];
if(!now)return val[x];
while(son[1][now])now=son[1][now];
return val[now];
}
前驱值
int prepos(int x){
splay(x,0);
int now=son[0][x];
if(!now)return val[x];
while(son[1][now])now=son[1][now];
return now;
}
前驱的节点编号
查找后继
查询比一个节点大的最小的一个。
同样的操作，我们将其翻转到根节点，然后比它大的都在右子树中，在右子树中寻找最小的一个即可，也就是一直走左儿子（右边的最左边的节点）
int nex(int x){
splay(x,0);
int now=son[1][x];
if(!now)return val[x];
while(son[0][now])now=son[0][now];
return val[now];
}
后继的值
int nexpos(int x){
splay(x,0);
int now=son[1][x];
if(!now)return val[x];
while(son[0][now])now=son[0][now];
return now;
}
后继节点编号
查找一个值的前驱后继值
一般选择先把这个值插入，然后翻转到根再来查询。
这里没有体现插入（如果有这个值就不用插入了）
int findnumpre(int x){
x=findnumpos(x);
return pre(x);
}
int findnumnex(int x){
x=findnumpos(x);
return nex(x);
}
查找一个排名为的值的前驱后继值
同理，找到这个节点后就可以去查询了。
int findkthpre(int x){
x=findkthpos(x);
return pre(x);
}
int findkthnex(int x){
x=findkthpos(x);
return nex(x);
}
高级操作
删除一个节点
对于节点的删除，是比较难写的，分为以下几种情况：
- 先找到要删的节点，然后将其翻转到根节点：
- 如果没有该节点，不用删，直接跳过。
- 如果只有根这一个节点，且要删的就是这个，直接删掉即可。
- 如果该节点只有一个儿子，直接删除该节点，将它的那个儿子作为新的根
- 如果有两个儿子，先找到该节点的前驱，将其翻转到该节点的左儿子处，由于前驱是比它小的里面最大的一个，所以此时它的左儿子没有右儿子，然后将该点删除，将它的右儿子接到它的左儿子的右儿子处，将它的左儿子作为新的根即可，此时仍然保证了排序二叉树的性质。
void delet(int pos){
mem[++top]=pos;//回收节点
son[0][pos]=son[1][pos]=0;f[pos]=0;
val[pos]=0;sze[pos]=tim[pos]=0;
}//删除一个节点记得删干净，防止对以后造成影响
void delpos(int v){
splay(v,0);//先翻转到根
if(tim[v]>1){--tim[v];return;}//有多个直接删一个
if(!son[0][v]&&!son[1][v]){delet(v);root=0;return;}//只有这个节点直接删除
int now;
if(!son[0][v]){//没有左或者右儿子，直接删除，重新赋根
now=son[1][v];
delet(v);
root=now;f[now]=0;
pushup(now);
return;
}else if(!son[1][v]){
now=son[0][v];
delet(v);
root=now;f[now]=0;
pushup(now);
return;
}
now=prepos(v);//有两个儿子，先找到前驱，翻转到左儿子处（如果要找后继也是同理的）
splay(now,v);
int tnow=son[1][v];
delet(v);//删除节点
f[now]=0;
son[1][now]=tnow;f[tnow]=now;
root=now;//将右子树接过来，重新赋根
pushup(tnow);pushup(now);
}
void delnum(int v){
v=findnumpos(v);
delpos(v);//删除某个数
}
void delkth(int v){
v=findkthpos(v);
delpos(v);//删除某个排名的数
}
单点修改询问操作
询问的话找到即可。
修改的话如果不影响该节点的位置，可以直接找到它修改即可。
否则先删除原来的，将修改后的重新插入即可。
区间修改询问操作
最开始建树时先加入两个边界节点，防止越界。
这里的splay是按照序列下标为比较关键字的排序二叉树。
然后对于一个询问区间，我们先将翻转到根，然后将翻转到的右儿子处，就变成如下图：
然后，此时的询问区间已经在这个节点的左子树中了，所以直接查询左子树的根节点，也就是的左儿子所维护的值即可。
对于区间修改，我们同样进行询问时的操作，然后要维护一个标记，将修改操作更新到此时的左儿子的标记上即可。
注意：由于有lazy标记，所以翻转时注意及时下传标记，更新节点，以防止标记传错或者更新不及时。
由于这里我们用到了和号节点，所以对于节点的，如果查询这个区间，就会用到这两个节点，所以开始建树时要多加入两个节点。
区间翻转
维护一个标记，表示是否翻转，每次修改即可，然后要交换的话就先将区间用前面讲的方式提取出来，交换左子树根节点的左右儿子即可。
注意及时下传和更新。
void pushdown(int a){
if(!rev[a]) return;
if(son[a][0])rev[son[a][0]]^=1;
if(son[a][1])rev[son[a][1]]^=1;
swap(son[a][0],son[a][1]);
rev[a]=0;
}
void revse(int a,int b){
splay(a,0);splay(b,a);
rev[son[b][0]]^=1;
}
一些模板题目
- 【区间翻转】
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
int root,n,m;
int son[N][2],f[N],sze[N];
bool rev[N];
void pushup(int a){sze[a]=sze[son[a][0]]+sze[son[a][1]]+1;}
void pushdown(int a){
if(!rev[a]) return;
if(son[a][0])rev[son[a][0]]^=1;
if(son[a][1])rev[son[a][1]]^=1;
swap(son[a][0],son[a][1]);
rev[a]=0;
}
void rotate(int a,bool k){
int now=f[a];
pushdown(now);pushdown(a);
son[now][k]=son[a][k^1];
f[son[now][k]]=now;
bool dk=(son[f[now]][1]==now);
if(f[now]) son[f[now]][dk]=a;
f[a]=f[now];f[now]=a;son[a][k^1]=now;
pushup(now);pushup(a);
}
void splay(int a,int to){
pushdown(a);
while(f[a]!=to){
if(f[f[a]]!=to) pushdown(f[f[a]]);
pushdown(f[a]);pushdown(a);
bool k=(son[f[a]][1]==a);
if(f[f[a]]==to){
rotate(a,k);
}else{
int b=f[a];
bool kw=(son[f[b]][1]==b);
if(son[b][kw^1]==a) rotate(a,k);
else rotate(b,k);
rotate(a,kw);
}
}
pushup(a);
if(!to)root=a;
}
void revse(int a,int b){
splay(a,0);splay(b,a);
rev[son[b][0]]^=1;
}
int find(int a,int kth){
pushdown(a);
if(son[a][0]&&sze[son[a][0]]>=kth) return find(son[a][0],kth);
kth-=sze[son[a][0]];
if(kth==1) return a;
--kth;
if(son[a][1]) return find(son[a][1],kth);
}
void build(int nn){
root=son[0][0]=son[0][1]=sze[0]=rev[0]=f[0]=0;
int mid=1+(nn>>1),pos=mid;f[mid]=0;
son[0][1]=mid;sze[mid]=1;rev[mid]=0;
for(int i=mid-1;i>=1;i--){
son[pos][0]=i;sze[i]=1;f[i]=pos;rev[i]=0;
son[i][0]=son[i][1]=0;pos=i;
}
pos=mid;
for(int i=mid+1;i<=nn;i++){
son[pos][1]=i;sze[i]=1;f[i]=pos;rev[i]=0;
son[i][0]=son[i][1]=0;pos=i;
}
splay(1,0);splay(nn,0);
}
int tot;
void out(int a){
if(!a||tot>n) return;
pushdown(a);
out(son[a][0]);
printf("%d ",a-1);
++tot;
out(son[a][1]);
}
void getans(){
splay(1,0);splay(n+2,1);
out(son[n+2][0]);
}
int a,b;
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
build(n+2);
while(m--){
scanf("%d%d",&a,&b);
revse(find(root,a),find(root,b+2));
}
getans();
return 0;
}
// luogu-judger-enable-o2
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=1e5+10;
int n;
int root,mem[M],tot,top;;
int son[2][M],sze[M],val[M],tim[M],f[M];
void pushup(int o){
if(!o)return;
sze[o]=sze[son[0][o]]+sze[son[1][o]]+tim[o];
}
void rotate(int a,bool k){
int now=f[a];
son[k][now]=son[k^1][a];
f[son[k][now]]=now;
bool kw=(son[1][f[now]]==now);
if(f[now])son[kw][f[now]]=a;
f[a]=f[now];f[now]=a;son[k^1][a]=now;
pushup(now);pushup(a);
}
void splay(int a,int to){
while(f[a]!=to){
bool k=(son[1][f[a]]==a);
if(f[f[a]]==to) rotate(a,k);
else{
int b=f[a];bool kw=(son[1][f[b]]==b);
if(son[kw^1][b]==a) rotate(a,k);
else rotate(b,k);
rotate(a,kw);
}
}
pushup(a);
if(!to)root=a;
}
int newnode(int fa,int v){
int now;
if(top){
now=mem[top--];
if(son[0][now])mem[++top]=son[0][now],son[0][now]=0;
if(son[1][now])mem[++top]=son[1][now],son[1][now]=0;
tim[now]=1;sze[now]=1;val[now]=v;f[now]=fa;
}else{
now=++tot;
tim[now]=1;sze[now]=1;val[now]=v;
f[now]=fa;son[0][now]=son[1][now]=0;
}
return now;
}
void insert(int v){
if(!root){root=newnode(0,v);return;}
int now=root,fa=0;
while(1){
if(val[now]==v){++tim[now];pushup(now);pushup(fa);splay(now,0);break;}
fa=now;now=son[val[fa]<v][fa];
if(!now){
now=newnode(fa,v);
son[val[fa]<v][fa]=now;
pushup(fa);splay(now,0);
break;
}
}
}
int findnumpos(int num){
int now=root;
while(1){
if(!now) return -1;
if(val[now]==num){
splay(now,0);
return now;
}
if(val[now]<num){
now=son[1][now];
}else if(val[now]>num){
now=son[0][now];
}
}
}
int findkthpos(int kth){
int now=root;
while(1){
if(!now) return -1;
if(sze[son[0][now]]>=kth){
now=son[0][now];
continue;
}
kth-=sze[son[0][now]];
if(tim[now]>=kth){
splay(now,0);
return val[now];
}
kth-=tim[now];
now=son[1][now];
}
}
int findkth(int kth){
int now=root;
while(1){
if(!now) return -1;
if(sze[son[0][now]]>=kth){
now=son[0][now];
continue;
}
kth-=sze[son[0][now]];
if(tim[now]>=kth){
splay(now,0);
return val[now];
}
kth-=tim[now];
now=son[1][now];
}
}
int findnum(int num){
int now=root,ans=0;
while(1){
if(!now) return -1;
if(val[now]==num){
ans=ans+sze[son[0][now]]+1;
splay(now,0);
return ans;
}
if(val[now]<num){
ans+=sze[son[0][now]]+tim[now];
now=son[1][now];
}else if(val[now]>num){
now=son[0][now];
}
}
}
int pre(int x){
splay(x,0);
int now=son[0][x];
if(!now)return val[x];
while(son[1][now])now=son[1][now];
return val[now];
}
int nex(int x){
splay(x,0);
int now=son[1][x];
if(!now)return val[x];
while(son[0][now])now=son[0][now];
return val[now];
}
int prepos(int x){
splay(x,0);
int now=son[0][x];
if(!now)return val[x];
while(son[1][now])now=son[1][now];
return now;
}
int nexpos(int x){
splay(x,0);
int now=son[1][x];
if(!now)return val[x];
while(son[0][now])now=son[0][now];
return now;
}
int findnumpre(int x){
x=findnumpos(x);
return pre(x);
}
int findnumnex(int x){
x=findnumpos(x);
return nex(x);
}
int findkthpre(int x){
x=findkthpos(x);
return pre(x);
}
int findkthnex(int x){
x=findkthpos(x);
return nex(x);
}
void delet(int pos){
mem[++top]=pos;
son[0][pos]=son[1][pos]=0;f[pos]=0;
val[pos]=0;sze[pos]=tim[pos]=0;
}
void delpos(int v){
splay(v,0);
if(tim[v]>1){--tim[v];return;}
if(!son[0][v]&&!son[1][v]){delet(v);root=0;return;}
int now;
if(!son[0][v]){
now=son[1][v];
delet(v);
root=now;f[now]=0;
pushup(now);
return;
}else if(!son[1][v]){
now=son[0][v];
delet(v);
root=now;f[now]=0;
pushup(now);
return;
}
now=prepos(v);
splay(now,v);
int tnow=son[1][v];
delet(v);
f[now]=0;
son[1][now]=tnow;f[tnow]=now;
root=now;
pushup(tnow);pushup(now);
}
void delnum(int v){
v=findnumpos(v);
delpos(v);
}
void delkth(int v){
v=findkthpos(v);
delpos(v);
}
int opt,x;
int main(){
scanf("%d",&n);
while(n--){
scanf("%d%d",&opt,&x);
if(opt==1){
insert(x);
}else if(opt==2){
delnum(x);
}else if(opt==3){
printf("%d\n",findnum(x));
}else if(opt==4){
printf("%d\n",findkth(x));
}else if(opt==5){
insert(x);
printf("%d\n",findnumpre(x));
delnum(x);
}else if(opt==6){
insert(x);
printf("%d\n",findnumnex(x));
delnum(x);
}//每次插入再查询
}
return 0;
}
