PART2 离散傅里叶变换

PART 2 离散傅里叶变换

1. 离散时间傅里叶变换

以上内容，属于对傅里叶变换较为基础的数学内容，在《微积分》等课程中有不少详尽的介绍。接下来，将会面对如何在计算机中实现傅里叶变换的问题。

首先，观察傅里叶变换公式：

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}dt\\ f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$

有这么几个问题：

1. 在时域上，是负无穷到正无穷的积分，显然在计算机上无法做到；
2. 在频域上，也是负无穷到正无穷的积分，显然在计算机上也无法做到；
3. 原函数 $f(t)$ 是连续非周期函数，“连续”这个条件在计算机上没法实现。

因此，需要对傅里叶变换进行离散化，从而更好的在计算机上实现相关功能。

首先，我们引入离散时间傅里叶变换。

1.1 离散时间傅里叶变换

为了解决上面提出的第三个问题，自然而然地引入采样的概念。通过采样，将原来的连续信号转变为离散信号，就可以作为计算机的输入了。

沿用之间的假设：对原信号做采样处理

$$f^{\ast }(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cdot \delta (t-n{T}_s)$$

其中，$f^{\ast }(t)$ 是采样后的信号序列；$\delta (t-n{T}_s)$ 为狄克拉函数，$n{T}_s$ 是采样的时刻， $T_s$ 是采样时间间隔，其倒数 $f_s=\frac{1}{T_s}$ 表示采样频率。假设这满足香农采样定律，$f_s\ge 2f_{max}$

将采样信号带入傅里叶变换中去：

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}^{\ast }(t)e^{-j\omega t}dt\\ & ={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)\cdot \delta (t-n{T}_s)e^{-j\omega t}dt\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}\cdot \delta (t-n{T}_s)dt\end{array}$$

根据狄克拉函数的筛选性质：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \begin{array}{rl}F(\omega )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(t)e^{-j\omega t}\cdot \delta (t-n{T}_s)dt\\ & =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n{T}_s)e^{-j\omega n{T}_s}\end{array}\end{array}$$

而在计算机的存储中，通常不会涉及 $T_s$ 的值具体是多少，而是按照一个序列进行存储所以采用序列的形式代替，有：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}F(\omega )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)e^{-j\omega n}\end{array}\end{array}$$

此式即为离散时间的傅里叶变换（DTFT）

观察 (3) 式，我们发现相比于原来的傅里叶变换，首先是积分符号变成了求和符号，这就说明原来的连续时间变量变成了离散时间变量（狄克拉函数的作用）同时，在采样定律的限制下，频域不再是无穷，而是约束在 $\frac{f_s}{2}$ 之内；

其次是函数自变量由 t 变成了 n，n是序列的索引，满足 $t=n\times T_s$ ，这样，$T_s$ 就作为离散时间的最小分度，称为时间分辨率。

最后，发现即便是解决了连续时间的问题，但是求和上下限依旧为无穷，即针对的还是无限长时间序列，得到一个无限长的频谱序列，无法在计算机上实现。因此，需要更近一步处理，即为离散傅里叶变换。

2. 离散傅里叶变换

在离散时间序列傅里叶变换中，有：

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& =\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(n)e^{-j\omega n}\end{array}$$

我们想，是否可以通过一定的方式，改变无限长的时间序列。幸运的是，在计算机的采样过程中，得到的一定是一段序列，而不是无限长的序列！这就说明，傅里叶变换中时间无限长的概念并不存在。然而，对于这一段时间序列，显然是不能进行傅里叶变换的。这就又回到了非周期函数做傅里叶展开时的问题，面临两种处理方式：

如果让周期趋于无穷，显然不可行。所以只能进行周期延拓。而一旦进行周期延拓，对应的频谱就变成了离散的，受限于采样定律，又是有限的。所以，沿着这个思路就可以解决最初提出的三个问题。

2.1 离散傅里叶变换

假设我们得到的序列共有 N 个数据，那么对应的离散傅里叶变换就是：

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& =\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-j\omega n}\end{array}$$

但是注意到，周期函数的频谱是离散的，显然不能用 $\omega$ 作为变量。

类似于时间分辨率，离散的频率一定存在最小分度，将其称为频率分辨率，记作：${\omega }_s$ ,令 k 作为离散频谱的索引，有 $\omega =k{\omega }_s$ ，类似于 $T_s$ 由采样频率决定，${\omega }_s$ 由信号周期决定。这是因为周期越大，频率越小，角频率也就越小，最大的周期就是 $T=N{T}_s$

此时：

$$\begin{array}{rl}F(k)& =\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-jk{\omega }_{s}n}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-jk\frac{2\pi }{T}n}\\ & =\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-jk\frac{2\pi }{N{T}_s}n}\end{array}$$

在计算机的存储中，认为 $T_s=1$，将 n 变为序列，就有离散傅里叶变换（DFT）：

$$\begin{array}{rl}F(k)& =\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-j2\pi \frac{k}{N}n}\end{array}$$

我们再回到最初的傅里叶变换，是否也存在离散傅里叶逆变换？答案是存在的。这里不加证明的给出离散傅里叶变换式：

$$\begin{array}{rl}f(n)& =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}F(k)e^{j2\pi \frac{k}{N}n}\end{array}$$

就此，得到离散傅里叶变换对：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}F(k)& =\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-j2\pi \frac{k}{N}n}\\ f(n)& =\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{j2\pi \frac{k}{N}n}\end{array}\end{array}$$

观察 (3) 式，可以看出：

1. 在时域上，通过采样，得到 0~N-1 共 N 个时域数据点，这些时域点之间实际的时间间隔是 $T_s$ ，对N个点进行周期延拓，即可得到离散的频谱。采样定律限制了离散的频谱不是无限的。
2. 在频域上，通过采样，得到 0~N-1 共 N 个频域数据点，这些频域点之间实际的频率间隔是 ${\omega }_s$ ，对N个点进行周期延拓，即可得到离散的时谱。采样定律限制了离散的时谱不是无限的。
3. 逆变换中的 N 分之一是从 $d\omega$ 中提出来的。

2.2 离散傅里叶逆变换的证明

在后续的探索中，发现还是有必要对离散傅里叶逆变换（IDFT）进行一个简单的证明。

由傅里叶逆变换公式：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(\omega )e^{j\omega t}d\omega \end{array}$$

在离散化后，取

$$\begin{array}{rl}t& =n{T}_s\\ \omega & =k{\omega }_s\end{array}$$

其中满足

$$\begin{array}{rl}{T}_s& =\frac{1}{f_s}\\ {\omega }_s& =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{N{T}_s}\end{array}$$

此时，对 $dw$ 的积分可以看作是对 $k{\omega }_s$ 中 k 的求和，因此：

$$\begin{array}{rl}f(n{T}_s)& =\frac{1}{2\pi }\sum _{k=0}^{N-1}F(k{\omega }_s)e^{jk{\omega }_{s}n{T}_s}d(k{\omega }_s)\end{array}$$

当序列化表示， $T_s=1$ 时，有：

$$\begin{array}{rl}f(n)& =\frac{1}{2\pi }\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{jk\frac{2\pi }{N{T}_s}n{T}_s}d(k\frac{2\pi }{N})\\ & =\frac{1}{N}\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{j2\pi \frac{k}{N}n}\end{array}$$

即可得证离散傅里叶逆变换。

2.3 关于$\frac{1}{N}$ 的说明

事实上，离散傅里叶变换也可以从傅里叶级数推出。（关于这部分内容，将在最后的说明中加以阐述）

由傅里叶级数：

$$\begin{array}{rl}f(t)& =\sum _{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}F(n{\omega }_1)e^{jn{\omega }_{1}t}\\ F(n{\omega }_1)& =\frac{1}{T_1}[{\int }_{-\frac{T_1}{2}}^{\frac{T_1}{2}}f(t)e^{-jn{\omega }_{1}t}dt]n& =0,\pm 1,\pm 2,\cdots \end{array}$$

当取：

$$\begin{array}{rl}t& =n{T}_s\\ T_1& =N{T}_s\\ \omega & =k{\omega }_s\\ T_s& =\frac{1}{f_s}\\ {\omega }_s& =\frac{2\pi }{T_1}=\frac{2\pi }{N{T}_s}\end{array}$$

可以得到：

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}F(k)& =\frac{1}{N}\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-j2\pi \frac{k}{N}n}\\ f(n)& =\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{j2\pi \frac{k}{N}n}\end{array}\end{array}$$

(5) 式与 (4) 式比较，发现 $\frac{1}{N}$ 的位置出现在不同的地方！那么这两种公式孰对孰错？

事实上，这两种写法都是正确的。因为在傅里叶变换的过程中，我们关注点在于后面的 $F(k)$ ，至于前面的系数，更多的是为了满足正变换和逆变换之间的自洽，即可以相互推导即可。所以， $\frac{1}{N}$ 的位置不论放在哪里都可以，哪怕写成下面的形式也是可以的：

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}F(k)& =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=0}^{N-1}f(n)e^{-j2\pi \frac{k}{N}n}\\ f(n)& =\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{k=0}^{N-1}F(k)e^{j2\pi \frac{k}{N}n}\end{array}\end{array}$$

再利用Python实现的过程中，我们可以再次深刻的认知到这一点。

接下来，我们通过Python中程序验证公式的正确性。[附录 Ⅱ ]

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