单调栈——leetcode84柱状图中最大的矩形面积

题目描述

方法一——枚举

• 枚举所有高度（矩形）
• 当前矩形能围成的最大面积，取决于向左右扩展时，高度小于当前高度的矩形，记录下左右当前左右坐标，（(right - left) -1）* heights[i] 就是当前矩形能围成的最大面积

暴力枚举：枚举所有宽度,时间复杂度为O(n^2)

	int largestRectangleArea(vector<int>& heights) {
		int len = heights.size();
		int ans = 0;
		//枚举左边界
		for(int i = 0;i < len;i++){
			int minHeight = INT_MAX;
			for(int j = i;j < len;j++){  //枚举右边界 
				minHeight = min(minHeight,heights[j]); //高度取决于矮的一端
				ans = max(ans, (j - i + 1) * minHeight);  //记录最大面积 
			}
		} 
		return ans; 
	}

暴力枚举:枚举所有高度，时间复杂度O(n^2)

    int largestRectangleArea(vector<int>& heights){
		int len = heights.size();
		int ans = 0;
		for(int i = 0;i < len;i++){
		    int left = i;
		    int right = i;
		    int height = heights[i]; //固定高度
			//向左扩展边界,找左边大于当前柱子高度并且最远的索引
			while(left - 1 >= 0 && heights[left - 1] >= height){
				left--; 
			} 
			
            //向右扩展边界,找右边大于当前柱子高度并且最远的索引
			while(right + 1 < len && heights[right + 1] >= height){
				right++;  
			} 
			
			//计算当前高度可围成的最大面积
			ans = max(ans,(right-left+1) * height);
		} 
    	
    	return ans;
	}

方法二——分治法

最大的矩形面积出现只会有以下三种情况

• 高度最小的柱子能围成的最大面积
• 最大面积出现在高度最小的柱子左边
• 最大面积出现在高度最小的柱子右边

    int calculateArea(vector<int>& heights,int start,int end){
    	if(start > end){
    		return 0;
		}
		
		int minWidth = heights[start];
		
		int cur = 0;
		for(int i = start+1;i <= end;i++){
			if(heights[i] < minWidth){
				minWidth = heights[i];
				cur = i;
			}
		}
		
		int AreaValue =  (end-start + 1) * minWidth;
		int leftAreaValue = calculateArea(heights,start,cur-1);
		int rightAreaValue = calculateArea(heights,cur+1,end);
		return max(max(AreaValue,leftAreaValue),rightAreaValue);
	}

    int largestRectangleArea(vector<int>& heights){
    	
    	return calculateArea(heights,0,heights.size()-1);
	} 

方法三——单调栈

前面三种方法都超时,考虑优化时间复杂度。单调栈的解法与枚举高度类似，要使得当前高度能围成的矩形面积最大，需要向左右扩展能够到达的最大边界，因此我们需要维护一个单调递增的栈（栈中存放柱子的下标），当遍历到的柱子高度不满足单调递增时（大于栈顶柱子高度）说明它是栈顶柱子作为高度的右边界，左边界为栈顶元素的下一个元素，此时可以求出每个柱子作为高度时的最大面积，记录最大面积

• 定义一个栈用于存放所有柱子的下标
• 原数组首添0：便于计算左边界(避免对空栈处理)，原数组末尾添0：使得栈中所有元素都能出栈（所有柱子高度能围成的最大面积都能求得）
• 遍历数组，不满足单调递增时,说明栈顶柱子找到了右边界，栈顶柱子位置出栈，它的前一个位置（现在的栈顶元素就是它的左边界),计算宽度，右边界-左边界-1
• 满足单调递增的柱子下标入栈
• 直到遍历完柱子数组

int largestRectangleArea(vector<int>& heights){
    int ans = 0;
    stack<int> st;
    heights.insert(heights.begin(), 0);  //减少栈空的判断
    heights.push_back(0);  //使得前面所有元素都能出栈
    for (int i = 0; i < heights.size(); i++){
        while (!st.empty() && heights[st.top()] > heights[i]){
            int cur = heights[st.top()]; //当前高度
            st.pop();
            ans = max(ans, (i - st.top() - 1) * cur);  //左边界：st.top() 右边界i 在计算宽度的时候需要减1
        }
        st.push(i);
    }
    return ans;
}