Bresenham算法理解
Bresenham
声明:本博客作者与此博客https://blog.csdn.net/cjw_soledad/article/details/78886117相同,因“博客搬家”功能效果不好,不得不重新发布
bresenham算法是计算机图形学中为了“显示器(屏幕或打印机)系由像素构成”的这个特性而设计出来的算法,使得在求直线各点的过程中全部以整数来运算,因而大幅度提升计算速度。
实现代码
这篇文章主要对下面的代码进行解释,如果能够理解下面的代码,完全可以跳过这篇文章。
// 来源:https://rosettacode.org/wiki/Bitmap/Bresenham%27s_line_algorithm#C
void line(int x0, int y0, int x1, int y1) {
int dx = abs(x1-x0), sx = x0<x1 ? 1 : -1;
int dy = abs(y1-y0), sy = y0<y1 ? 1 : -1;
int err = (dx>dy ? dx : -dy)/2, e2;
for(;;){
setPixel(x0,y0);
if (x0==x1 && y0==y1) break;
e2 = err;
if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }
if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }
}
}
直线方程
众所周知,最基本的斜截式直线方程为\(y=kx+b(k为斜率, b为截距)\)。这个方程存在的缺点是无法表示直线\(x=\alpha\),所以用一个新的方程来代替\(Ax+By+C=0\)。
Bresenham
Bresenham画直线的算法主要步骤是判断下一点的位置。维基百科中有一张图比较形象
图中,每一个点代表的是一个像素,假定我们有直线\(f(x,y)\)且当前坐标为\((x,y)\),判断下一个点的y轴坐标步骤为(如果要确定x轴坐标也类似):
代码理解
如上面所述,我们现在能够判断直线的下一个像素点在那里了,但是Bresenham算法的优点还没有体现:我们还需要计算浮点数。为了避免浮点数计算,我们要更深入地发现划线的规律。
这里我们只考虑 \(x_1<x_2\) 并且\(y_1<y_2\)的情况,实际上我们也只需要考虑这种情况,正如前面代码所写的sx, sy
,通过这两个变量我们便能控制要画的直线方向是正确的。
- Bresenham的输入为两个点\((x_1, y_1), (x_2,y_2)\)。根据这两个点,我们能够计算出两点之间的“距离“。这里的距离用的是绝对值,对应的是代码里的
dx, dy
。
根据斜截式\(y=kx+b\),我们有\(y=\frac{\Delta y}{\Delta x}x+b\),进而有
在这条公式中:
- 实际上,用于判断下一个点的位置的就是\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)和\(\frac{\Delta x}{\Delta y}\)。这两个值变化的根本目的是使上面的方程成立,根据这一点,我们直接引入一个变量\(err\)避免浮点数运算(对应代码中的
err
和e2
)
- 现在我们已经能够将 \(err\) 和 \(x, y\) 联系起来,但是还有一个很重要的问题没有解决:判断增加x轴坐标还是增加y轴坐标
首先假设我们在起始坐标\((x,y)\),当前的\(err\)也是正确的,现在需要判断下一个点的坐标。
根据传统的Bresenham算法:
我们更关注中间的部分,结合上一点所说的\(err\)和\(\Delta x,\Delta y\)的关系对其进行变形
- 从上面的公式看来似乎是与\(err\)有点关系了,但是还不明确,那是因为我们的推到基于起始点,倘若基于的不是起始点,那么该公式应当为
\(\varepsilon\)为一个累加值,其来源与当前点\((x,y)\)和起始点\((x_0,y_0)\)的相对位置有关,个人理解是:每一次\(x+1\)或\(y+1\)都会让原来的直线平移,这个平移便会造成误差,而这个误差会随着程序的进行而不断累加,而这个累加值对应的正是\(err\)
- 现在我们就有能力将\(err\)和程序中的
err
联系起来了。
if
后的条件与上面的公式对应,而err
与\(\varepsilon\)不同。不同之处是:err
是已经计算好的\(\varepsilon-\Delta y\)和\(\varepsilon+\Delta x\)。我们可以这样思考:在某一个点\((x,y)\)处,我们已经计算得到了正确的、可以用于判断的\(err\),当我们选择下一个点时,我们可以顺便把下一个点的\(err\)给计算了,这就是代码中err -= dy; err += dx;
蕴含的意思。
if (e2 >-dx) { err -= dy; x0 += sx; }
if (e2 < dy) { err += dx; y0 += sy; }
- 关于
err
的初始化 Updated in 2020
我们注意到代码中对err
进行了初始化。在前面我们的推导忽略了一个部分:起始点\((x_1,y_1)\)的\(err\)。从公式\(Ax+By+C+err=0\)上看,起始点的\(err\)应当为\(0\)才对,但是代码中用了一个奇怪的值进行了初始化。看起来二者是矛盾的,但是err
的初始化实际上是另一个小技巧。
int err = (dx>dy ? dx : -dy)/2
看回前面提到的那张图,蓝色点为起始点。倘若人工进行判断,我们会根据黑色点的位置\(black\)决定下一个点在何处。当\(black>0.5\)时我们会选择下面的绿点,否则选择上面的绿点。
然而此处的0.5
会引入浮点数运算。我们还有一种选择:将起始点\((x_1,y_1)\)上移半个单位(这里只考虑\(\Delta x>\Delta y\),其余情况同理)。因为起始点相对于第一个像素有了偏移,引入了误差\(err\),根据前面对\(err\)的推导有:
这样便能解释err
的初始值问题,而且与我们前面的推导是一致的。
- 至此,Bresenham算法理解完成。