【ZJOI2019】 开关

令 \(P = \sum p_i\)

设 \(F\) 为走 \(x\) 步，刚好达到终止状态的概率的 EGF； \(G\) 为走 \(x\) 步，刚好走回初始状态的概率的 EGF，则有：

\[F = \frac{1}{2}\prod_i (e^{\frac{p_i}{P}x} + (-1) ^ {s_i} e ^{-\frac{p_i}{P}x}) \\ G = \frac{1}{2} \prod_i (e^{\frac{p_i}{P}x} + e ^{-\frac{p_i}{P}x}) \]

设两者的 OGF 分别为 \(f\) 和 \(g\), 再令\(h_n\) 为走 \(n\) 步，第一次到达终止状态的概率。那么答案就是\(\sum_{i ≥ 0} h(i) i = h'(1)\)。容斥一下得到：

\[h_n = f_n - \sum_{i = 0} ^ {n - 1} h_i g_{n-i} \]

于是得到 \(h * g = f, h = \frac{f}{g}\)

根据除法的求导法则，得到：

\[h'(1) = \frac{f'(1)g(1) - f(1)g'(1)}{g(1) ^ 2} \]

现在只需求得 \(f(1),f'(1),g(1),g'(1)\)

问题在于，我们第一个式子可以在 \(O(nP)\) 的复杂度内求出 \(F, G\)， 怎么用 OGF 推出 EGF 呢？

设 \(F = \sum_{i = -P} ^ {P} a_i e^{\frac{i}{P} x} = \sum_{i = -P} ^ P a_i \sum_{j≥0}\frac{(\frac{ix}{P})^j}{j!}\)，就得到：

\[f = \sum_{i = -P} ^ P \frac{a_i}{1 - \frac{i}{P} x} \]

因为当 \(x = 1\) 时，\(f,g\) 分母的部分可能会等于 \(0\). 不妨将两个 OGF 同时乘以 $ \prod_{i = -P} ^ P (1 + \frac{i}{P} x)$ (注意符号)

我们只需要计算这样的 \(f(1), f'(1)\):

\[f = \sum_{i = -P} ^ P b_i \prod_{-P ≤j ≤ P, j ≠ i} (1 + \frac{j}{P} x) \]

其中 \(b_i = a_{-i}\), 这是因为我们刚才乘那个多项式的时候处理了一下符号。

先计算 \(f(1)\). 当 \(x = 1\), 显然只有当 \(i = -P\) 的时候 \(\prod\) 里面才不为 \(0\)

计算 \(f'(1)\) 时可以使用这样一个引理：

\[(\prod_i(1 + a_ix))' = \sum_i a_i \prod_{j≠i} (1 + a_j x) \]

证明可以暴力展开：

\[\begin{split} (\prod_i(1 + a_ix))' &= (e^{\sum_i ln(1 + a_ix)})' \\ &= (e^{\sum_i ln(1 + a_ix)}) (\sum_i ln'(1 + a_i x)) \\ &= (\prod_i (1 + a_ix))(\sum_i \frac{a_i}{1 + a_ix}) \\ &= \sum_i a_i \prod_{j≠i} (1 + a_j x) \end{split} \]

从而就可以得到 $ f'(x) $的表达式：

\[f'(x) = \sum_{i = -P} ^ P b_i \sum_{-P \leq j \leq P, j \not= i} \frac{j}{P} \prod_{-P \leq k \leq P, k \not= i, k \not= j} (1 + \frac{k}{P} x) \]

当 \(x = 1\) 时，\(i, j\) 至少有一个为 \(-1\) \(\prod\) 里面才不为零，所以也可以暴力计算。

#pragma GCC optimize("2,Ofast,inline")
#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define LL long long
#define pii pair<int, int>
#define a(n) a[(n) + 50000]
#define f(n) f[(n) + 50000]
#define g(n) g[(n) + 50000]
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
const int mod = 998244353;
 
template <typename T> T read(T &x) {
	int f = 0;
	register char c = getchar();
	while (c > '9' || c < '0') f |= (c == '-'), c = getchar();
	for (x = 0; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
		x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
	if (f) x = -x;
	return x;
}

namespace Comb {
	const int Maxn = 1e6 + 10;
	
	int fac[Maxn], fav[Maxn], inv[Maxn];
	
	void comb_init() {
		fac[0] = fav[0] = 1;
		inv[1] = fac[1] = fav[1] = 1;
		for (int i = 2; i < Maxn; ++i) {
			fac[i] = 1LL * fac[i - 1] * i % mod;
			inv[i] = 1LL * -mod / i * inv[mod % i] % mod + mod;
			fav[i] = 1LL * fav[i - 1] * inv[i] % mod;
		}
	}
 
	inline int C(int x, int y) {
		if (x < y || y < 0) return 0;
		return 1LL * fac[x] * fav[y] % mod * fav[x - y] % mod;
	}

	inline int Qpow(int x, int p) {
		int ans = 1;
		for (; p; p >>= 1) {
			if (p & 1) ans = 1LL * ans * x % mod;
			x = 1LL * x * x % mod;
		}
		return ans;
	}

	inline int Inv(int x) {
		return Qpow(x, mod - 2);
	}
 
	inline void upd(int &x, int y) {
		(x += y) >= mod ? x -= mod : 0;
	}

	inline int add(int x, int y) {
		if (y < 0) y += mod;
		return (x += y) >= mod ? x - mod : x;
	}

	inline int dec(int x, int y) {
		return (x -= y) < 0 ? x + mod : x;
	}

}
using namespace Comb;

int n, P;
int p[N], f[N], g[N];
int a[N], b[N], s[N];

void Poly_add(int *a, int *f, int p, int k) {
	for (int i = -P; i <= P; ++i) {
		int t = i + p;
		if (t >= -P && t <= P) {
			upd(a(t), k == 1 ? f(i) : mod - f(i));
		}
	}
}

pii calc(int *f) {
	int ans1 = f(-P);
	for (int i = -P + 1; i <= P; ++i) {
		ans1 = 1LL * ans1 * add(1, 1LL * i * inv[P] % mod) % mod;
	}
	int s = 1;
	for (int i = -P + 1; i <= P; ++i) {
		s = 1LL * s * add(1, 1LL * i * inv[P] % mod) % mod;
	}
	int ans2 = 0;
	for (int i = -P; i <= P; ++i) {
		for (int j = -P; j <= ((i == -P) ? P : -P); ++j) {
			if (i == j) continue;
			int t = 1LL * f(i) * j % mod * inv[P] % mod;
			t = 1LL * t * s % mod;
			if (i != -P) {
				t = 1LL * t * Inv(add(1, 1LL * i * inv[P] % mod)) % mod;
			}
			if (j != -P) {
				t = 1LL * t * Inv(add(1, 1LL * j * inv[P] % mod)) % mod;
			}
			if (t < 0) t += mod;
			upd(ans2, t);
		}
	}
	return mp(ans1, ans2);
}

int main() {
	comb_init();
	read(n);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) read(s[i]);
	for (int i = 1; i <= n; ++i) read(p[i]), P += p[i];
	f(0) = g(0) = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		memset(a, 0, sizeof a);
		Poly_add(a, f, p[i], 1);
		Poly_add(a, f, -p[i], s[i] == 1 ? -1 : 1);
		memcpy(f, a, sizeof f);
		memset(a, 0, sizeof a);
		Poly_add(a, g, p[i], 1);
		Poly_add(a, g, -p[i], 1);
		memcpy(g, a, sizeof g);
	}
	for (int i = 1; i <= P; ++i) {
		swap(f(i), f(-i));
		swap(g(i), g(-i));
	}
	pii F = calc(f);
	pii G = calc(g);
	int ans = dec(1LL * F.se * G.fi % mod, 1LL * F.fi * G.se % mod);
	ans = 1LL * ans * Inv(G.fi) % mod * Inv(G.fi) % mod;
	cout << ans << endl;
	return 0;
}