二项式系数及扩展
对任意实数 $ n $ ，整数 $ k $ ，定义二项式系数
\[\dbinom{n}{k} = C_n^k =\begin{cases} \frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!} & k≥1 \\ 1 & k = 0 \\ 0 & k < 0 \\ \end{cases}
\]
由定义易证：
1、(帕斯卡公式)
\[\dbinom{n}{k}=\dbinom{n-1}{k}+\dbinom{n-1}{k-1}
\]
2、(吸收公式)
\[k\dbinom{n}{k}=n\dbinom{n-1}{k-1}
\]
二项式定理
1、（二项式定理）设 $ n $ 是正整数，对于所有的 $ x $ 和 $ y $ ，有
\[(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}x^{n-k}y^k
\]
证明见高中教科书。
$ $
2、令 $ x=y=1 $ ，即得：
\[\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+...+\dbinom{n}{n}=2^n
\]
$ $
3、令 $ x=1,y=-1 $ ，即得：
\[\dbinom{n}{0}-\dbinom{n}{1}+\dbinom{n}{2}-...+(-1)^n\dbinom{n}{n}=0
\]
这说明在大小为 $ n $ 的集合 $ S $ 中，有偶数个元素的子集和有奇数个元素的子集均有 $ 2^{n-1}个 $
$ $
4、对任意正整数 $ n $ ，有恒等式:
\[1\dbinom{n}{1}+2\dbinom{n}{2}+...+n\dbinom{n}{n}=n2^{n-1}
\]
下面给出证明：
\[S=0\dbinom{n}{0}+1\dbinom{n}{1}+...+n\dbinom{n}{n} \\S=0\dbinom{n}{n}+1\dbinom{n}{n-1}+...+n\dbinom{n}{0} \\ \therefore 2S=n\left[\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}+...+\dbinom{n}{n}\right] \\ S=n2^{n-1}
\]
$ $
5、对任意整数 $ n>=1 $ ，有恒等式
\[n(n+1)2^{n-2}=\sum_{k=1}^{n}k^2\dbinom{n}{k}
\]
可以用组合推理的形式给出证明：
假设现在要在 $ n $ 个人中选出 $ k $ 人做班委，并在其中选出一个班长和一个团委（可以兼任），这个方案数显然是 $ \sum_{k=1}{n}k2\tbinom{n}{k} $
如果班长和团委是一个人，有 $ n2^{n-1} $ 种方案；如果是两个人，有 $ n(n-1)2^{n-2} $ 种方案，共有 $ n(n+1)2^{n-2} $ 种方案
两种计数方式的结果显然是相同的，这就证明了上面的恒等式。
$ $
6、对任意整数 $ n>1 $ ，有恒等式
\[\dbinom{n}{1}-2\dbinom{n}{2}+3\dbinom{n}{3}+...+(-1)^{n-1}n\dbinom{n}{n}=0
\]
下面给出证明：
\[\because (x-1)^n=\dbinom{n}{0}-\dbinom{n}{1}x+\dbinom{n}{2}x^2...+ (-1)^n\dbinom{n}{n}x^n
\]
两边对 $ x $ 求导得：
\[n(x-1)^{n-1}=-\dbinom{n}{1}+2\dbinom{n}{2}x-3\dbinom{n}{3}x^2+...+(-1)^nn\dbinom{n}{n}x^{n-1}
\]
代入 $ x=1 $ 知等式成立
$ $
7、对任意整数 $ n>=1 $ ，有恒等式
\[1+\frac{1}{2}\dbinom{n}{1}+\frac{1}{3}\dbinom{n}{2}+...+\frac{1}{n+1}\dbinom{n}{n}=\frac{2^{n+1}-1}{n+1}
\]
下面给出证明：
\[(x+1)^n=\dbinom{n}{0}+\dbinom{n}{1}x+\dbinom{n}{2}x^2+...+\dbinom{n}{n}x^n
\]
求两边在 $ [0,1] $ 内的定积分即得上述等式。
$ $
8、（范德蒙卷积公式）对所有的正整数 $ m_1 $ , $ m_2 $ 和 $ n $ ，有恒等式
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{m_1}{k}\dbinom{m_2}{n-k}=\dbinom{m_1+m_2}{n}
\]
作为特殊形式，有恒等式
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k}\dbinom{n}{n-k}=\dbinom{2n}{n}
\]
下面给出证明：
考虑 $ (1+x)^{m_1+m_2} $ 的 $ x^n $ 项，它的系数为 $ \tbinom{m_1+m_2}{n} $
考虑 $ (1+x){m_1}(1+x) $ 的 $ x^n $ 项，是对于所有 $ k≤n $ ，第一个式子的 $ x^k $ 项与第二个式子的 $ x^{n-k} $ 项的乘积，它的系数为 $ \sum_{k=0}^{n}\dbinom{m_1}{k}\dbinom{m_2}{n-k} $
两者显然相等，故等式成立。
$ $
多项式定理
对正整数 $ n $ 和非负整数 $ n_1 ,n_2,...n_t $ 定义多项式系数
\[\dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}=\frac{n!}{n_1!n_2!...n_t!}
\]
可以帕斯卡公式扩展到多项式系数：
\[\dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}=\dbinom{n-1}{n_1-1,n_2,...,n_t}+\dbinom{n-1}{n_1,n_2-1,...,n_t}+...+\dbinom{n-1}{n_1,n_2,...,n_t-1}
\]
将二项式定理推广到多项式定理：
\[(x_1+x_2+...+x_t)^n=\sum_{n_1+n_2+...+n_t=n}\dbinom{n}{n_1,n_2,...,n_t}x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_t^{n_t}
\]
证明都和二项的情况相同。
$ $
牛顿二项式定理
设 $ \alpha $ 是实数。假设 $ abs(x) $ < $ abs(y) $ ,对于所有 $ x $ 和 $ y $ ，有
\[(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{k}x^ky^{\alpha-k}
\]
其中
\[\dbinom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)...(\alpha-k+1)}{k!}
\]
设 $ z=x/y $ ，易知 $ abs(z) $ < 1，于是有
\[(1+z)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{k}z^k
\]
设 $ n $ 是正整数，令 $ \alpha=-n $ ，则有
\[\dbinom{\alpha}{k}=\dbinom{-n}{k}=\frac{-n(-n-1)...(-n-k+1)}{k}\\ =(-1)^k\frac{n(n+1)...(n+k-1)}{k}=(-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}
\]
因此当 $ abs(z) $ < 1有
\[\frac{1}{(1+z)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\dbinom{n+k-1}{k}
\]
用 $ -z $ 代替 $ z $ ，于是有
\[\frac{1}{(1-z)^n}=\sum_{0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k}
\]
作为特殊情况，当 $ n=1 $ 时有
\[\frac{1}{1+z}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kz^k \\ \frac{1}{1-z}=\sum_{k=0}^{\infty}z^k
\]
重要的二项式系数恒等式
1、（阶乘展开式）对整数 $ n>=k>=0 $ 有
\[\dbinom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
\]
2、（对称恒等式）对整数 $ n>=0 $ ， $ k $ 是整数有
\[\dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}
\]
3、（吸收恒等式）对整数 $ k≠0 $ 有
\[k\dbinom{r}{k}=r\dbinom{r-1}{k-1}
\]
4、（帕斯卡公式）对整数 $ k $ 有
\[\dbinom{r}{k}=\dbinom{r-1}{k}+\dbinom{r-1}{k-1}
\]
5、（上指标反转）对整数 $ k $ 有
\[\dbinom{r}{k}=(-1)^k\dbinom{k-r-1}{k}
\]
6、（三项式版恒等式）对整数 $ m,k $ 有
\[\dbinom{r}{m}\dbinom{m}{k}=\dbinom{r}{k}\dbinom{r-k}{m-k}
\]
7、（牛顿二项式定理）当 $ abs(x) $ < $ abs(y) $ 或 $ \alpha $ 为整数有
\[(x+y)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\dbinom{\alpha}{k}x^ky^{\alpha-k}
\]
8、（平行求和法）对整数 $ n $ 有
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{r+k}{k}=\dbinom{r+n+1}{n}
\]
9、（上指标求和法）对整数 $ n,m>=0 $ 有
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{k}{m}=\dbinom{n+1}{m+1}
\]
10、（范德蒙卷积公式）对整数 $ n $ 有
\[\sum_{k=0}^{n}\dbinom{r}{k}\dbinom{s}{n-k}=\dbinom{r+s}{n}
\]
