对二叉树遍历操作的深入思考

对二叉树遍历操作的深入思考

已知某棵二叉树，容易求得它的某种遍历序列，但是，反过来，若已知某种遍历序列，是否可以唯一确定一棵二叉树呢？

1、若已知先/中/后序序列......

例：已知先序列为0-1-2-3-4-5-6-7-8

对应情况：

可以看到，两幅图片虽然先序是一样的，但两棵树完全是不同的两棵树。

2、若已知中序和后序序列......

例：

已知中序遍历:B D C E A F H G

已知后序遍历:D E C B H G F A

结果：

推断过程：

• (1)从后序遍历表中以及后序的性质，可以判定A是根

• (2)从中序遍历表中以及中序的性质，加以条件(1)以知道BDCE是A的左子数，FHG是A的右子树
  

• (3)先看FGH，在后序遍历中可以看到顺序是HGF可以说明F是A的右结点；看中序遍历可以看到顺序是FHG,如果F有左子结点的话，根据中序遍历的性质，中序遍历表中A的后面绝逼不是F,但结果是F，说明F没有左结点；要实现在中序遍历中，F后面的结点排布是H G的话，就要使H是G的左节点，综上所述，这一步可以得到这么个结果：

• (4)再看BDCE,从中序遍历可以看到顺序为：BDCE，若B有左子结点，则第一个不会是B，说明B并没有左子结点；从后序遍历中可以看到，顺序为:DECB,说明B是A的左子结点；剩下DCE,根据中序遍历，我有两种猜想

但是根据后序遍历所示，顺序为:DEC，对于第一种猜想，应该E是D的根，与猜想1的情况出入，因此猜想2为正确的，综上所述，可以得到这么个结果：

因此可以得到一条定律：后序定根，中序分左右。

3、若已知中序和先序序列......

例：

已知中序遍历：G D H B A E C I F

已知先序遍历：A B D G H C E F I

结果：

推断过程：

类似上面的运用两种遍历方法的性质和遍历表的排布，我就懒得写了，推一推就出来了...

4、若已知先序和后序序列......
例：

二叉树前序遍历为ABDEGCFH，后序序列为DGEBHFCA
可以确定第一个根节点是A，A第一个子树根节点是B，根节点为B的子树后序遍历为DGEB，前序遍历为BDEG，A第二个子树根节点为C，他的后序遍历为HFC，前序遍历为CFH，然后一次递归。简单起见，我们只看A第二个子树，即右子树C。C的第一个根节点F，子树F的后序遍历HF，前序遍历FH，C没有第二个子树，这时不管F为左子树还是右子树都是满足要求的。同理F的子树H。

图中只有一个子树的用两条线连接，表示这是左右子树均可。

最后结论：中序+先序，或中序+后序均能唯一确定一棵二叉树，但先序+后序却不一定能唯一确定一棵二叉树。