MATH1851 Laplace Transforms

课程内容笔记，自用，不涉及任何 assignment，exam 答案
Notes for self-use, do not include any assignments or exams

说实话，我们都没学信号，控制那些，我有点没搞懂学拉普拉斯变换的意义,,
仔细一想，感觉学校工科的数学课程的设置真的有点乱，看不出体系，可能应用层面的意义比较大

Physical Motivation

使用拉普拉斯变换，能将一个波形由 时域 (time and space domain) 转换到 频域 (frequency domain)
(可以简单理解为，自变量由时间变成了频率)

Mathematical Motivation

求某 自变量 (dependent variable) 与 辅助函数 (auxiliary function, 即 kernal of integral transform) 的定积分
通常来说，该 核 (kernal) 有一个自由参数，我们需要研究参数的改变将如何影响定积分的结果

常用的 Kernal (核)

• 衰减指数函数 (decaying exponential function): 在拉普拉斯变换中作为核
• Oscillatory / sinusoidal 函数: 在傅里叶变换中作为核

Laplace Transform Denotation

\(L(f(t))=F(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt\)
\(t\): 时间 time
\(L\): 指 Laplace Transform
\(F\): 经过变换后得到的函数
\(s\): transform parameter
Kernal: \(e^{-st}\)，以 \(s\) 作为参数的的衰减指数函数

若 \(f(t)\) 在乘上核 \(e^{-st}\) 后都无法减缓其增长，那么 \(f(t)\) 的 Laplace transform 不存在

Inverse Laplace Transform

\(L^{-1}(F(s))=f(t)\)
对 \(F(s)\) 应用拉普拉斯逆变换可以 recover \(f(t)\)

基本函数的 Laplace Transform

• \(L(1)\)
  \(L(1)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}dt=-\frac{1}{s}e^{-st}|^{\infty}_0=\frac{1}{s}\)

• \(L(t)\)
  \(L(t)=\int_{0}^{\infty} te^{-st}dt=\frac{1}{s^2}\) (直接 integration by part)

• \(L(t^n)\)
  \(L(t^n)=\frac{n}{s}(L(t^{n-1}))\)
  根据该递归公式 \(L(t^n)=\frac{n!}{s^{n+1}}\)

• \(L(e^{at})\)
  \(L(e^{at})=\int_{0}^{\infty} e^{at}e^{-st}dt=\frac{1}{a-s}e^{(a-s)t}|^{\infty}_0=1/(s-a)\)
  ( 注意，\(t\in \infty\) 时 \(e^{(a-s)t} \to 0\)，这是因为 \(e^{-st}\) 是一个衰减指数函数 )

• \(L(\cos at)\) 与 \(L(\sin at)\)
  \(L(\cos at)=\int_{0}^{\infty}\cos (at) e^{-st}dt=\frac{s}{s^2+a^2}\)
  \(L(\sin at)=\int_{0}^{\infty}\sin (at) e^{-st}dt=\frac{a}{s^2+a^2}\)

关于三角函数的 Laplace transform 有一个很妙的证明方式
那就是利用 欧拉公式 \(e^{it}=\cos t+i\sin t\)
\(L(\cos at+i\sin at)=L(e^{iat})=1/(s-ai)=(s+ai)/(s+ai)(s-ai)=\frac{s+ai}{s^2+a^2}=\frac{s}{s^2+a^2}+\frac{a}{s^2+a^2}i\)
结果的实数部分对应 \(L(\cos at)=\frac{s}{s^2+a^2}\)，虚数部分对应 \(L(\sin at)=\frac{a}{s^2+a^2}\)

Basic properties of Laplace transform

• Linearity (线性)
  \(L(af+bg)=aL(f)+bL(g)\) (直接继承自 integration 性质)

• The first shift property (重要！)
  \(L(e^{at}f(t))=F(s-a)\)
  证明: \(L(e^{at}f(t))=\int_0^{\infty} f(t)e^{-(s-a)t}dt\) (对比标准形式 \(f(t)e^{-st}\), 参数由 \(s\) 变为 \(s-a\))

• The second shift property
  \(L(f(t-a)S(t-a))=e^{-as}L(f(t))\)
  这里的函数 \(S\) 是 Heavside step function，\(x>0\) 时 \(S(x)=1\)，\(x<0\) 时 \(S(x)=0\)
  用图像来解释很好理解:
  

• The differentiation property
  \(L(t^n f(t))=(-1)^n F^{(n)}(s) \ \ (n\neq -1)\)
  ( \(F^{(n)}(s)\) 即为 \(F(s)\) 的 \(n\) 次导，\(F^{(n)}(s)=\frac{d^n}{ds^n}F(s)\) )
  

• The integration property
  \(L(t^{-1}f(t))=\int_s^{\infty} F(u)du\)
  对于 \(L(t^nf(t))\)，若 \(t=-1\) 则对应 integration property; 反之对应 differentiation property

• Convoltion property
  很熟悉的卷积 (convoltion) 性质！
  \(L(f*g)=F(s)G(s)\)
  卷积的拉普拉斯变换 \(L(f*g)\) 等于该两函数的拉普拉斯变换之积 \(L(f)\cdot L(g)=F(s)G(s)\)

  \(f, g\) 卷积的定义: \(f*g=\int_{0}^{x} f(\xi)g(x-\xi) d\xi\)
  \(*\) 是 communicative operator: \(f*g=g*f\)
  下面是几个卷积的例子：
  \(1*1=\int_{0}^x 1 d\xi=x\)
  \(x*x=\int_0^x \xi (x-\xi)d\xi=\int_0^x x\xi d\xi-\int_0^x \xi^2 d\xi=\frac{x^3}{6}\)

• Laplace Transform of Derivatives
  导数 \(f'\) 的拉普拉斯变换: 按照定义展开 + 分部积分法即可
  \(L(f'(t))=\int_0^{\infty} f'(t)e^{-st}dt=\int_0^{\infty} e^{-st}df(t)\)
  接下来 Integrate by parts
  \(\int_0^{\infty} e^{-st}df(t)=e^{st}f(t)|_0^{\infty}-\int_0^{\infty} f(t)de^{-st}\) (注意，在积分内部，\(s\) 被视为常数)
  整理后得 \(sL(f(t))-f(0)\) 即 \(sF(s)-f(0)\)

  二阶导，三阶导套用上面公式即可
  \(L(f''(t))=sL(f'(t))-f'(0)=s(sL(f(t))-f(0))-f'(0)=s^2G(s)-sf(0)-f''(0)\)
  \(L(f'''(t))=s^3G(s)-s^2f(0)-sf'(0)-f''(0)\)

Applying Laplace Transform to solve ODE

这是这节课 MATH1851 学习 Laplace transform 的主要原因: 作为一个有效的工具对 ODE 进行求解
应用 Laplace transform 求解 ODE 大致分为三步

1. 对 ODE 的 LHS 与 RHS 分别应用 Laplace transform
2. 此时 ODE 将会转变为关于 \(Y\) (即 \(y(t)\) 的 Laplace transform \(Y(s)\) ) 的纯代数式 algebraic equation
   我们将其化成 \(Y=...\) 的形式
3. 再对该式应用 inverse Laplace transform，即可求解 \(y=...\)

在该过程中，主要运用到 Laplace transform of derivative，还会牵涉到 partial functions (处理关于 \(Y\) 的 algebraic equation 以方便逆变换)
使用 Laplace transform 来解 ODE 的优势在于其 普适性 (ODE 的种类，是否有 resonance 均无需考虑)

Partial fractions

在对 ODE 应用 Laplace transform 后，为了进行逆变换，我们需要对得到的 algebraic functions 进行分解，即 partial function 过程
具体分为三类：

• distinct roots
  对于形如 \(\frac{\mathtt{fn.} \ of \ s}{(s+a)(s+b)}\) 的项
  我们将其进行拆分 \(=\frac{A}{s+a}+\frac{B}{s+b}\): 逆变换时参考公式 \(L(e^{-at})=\frac{1}{s+a}\)
• repeated roots
  对于形如 \(\frac{\mathtt{fn.} \ of \ s}{(s+a)^n}\) 的项
  \(=\frac{A}{(s+a)^n}+\frac{B}{(s+a)^{n-1}}+...+\frac{N}{s+a}\): 逆变换时参考公式 \(L(t^ne^{-at})=\frac{n!}{(s+a)^{n+1}}\)
• cos/sin 形式
  对于形如 \(\frac{\mathtt{fn.} \ of \ s}{(s+a)^2+b^2}\) 的项
  \(=A\frac{s+a}{(s+a)^2+b^2}+B\frac{b}{(s+a)^2+b^2}\): 逆变换时参考公式 \(L(e^{-at}\sin bt)=\frac{b}{b^2+(s+a)^2}\), \(L(e^{-at}\cos bt)=\frac{s+a}{b^2+(s+a)^2}\)

对于其他形式，有 partial fraction 的 general form，这里不多介绍，估计考试也不会涉及

Tutorial question

在这里将会贴出一些 tutorial 上讲的例题。Marian 老师讲的好，人也超好！

Tutotial 6: 关于 Laplace transform of derivative，Partial funcion 和 Solve ODE using Laplace transform

Tutorial 7: 关于 Convoltion 与 Second Shift

Convoltion:

Second shift: