ENGG1310 P3.2 Resistor, Inductor, Capacitor, and RLC Circuits

这一节里关于三相电的内容最为重要，注意复习

Resistor 电阻

Physical 2-terminal energy-dissipative device.

电阻定律

电阻同样与温度 $T$ 有关 (然而 Temperature is neglected for the time being)，一般来说温度越高，电阻越大

电阻的伏安性质

电阻的 $R$ 功率损失 (Power Loss) (即电能损失的功率/热能产生的功率)
$P=I^2 R=U^2/R$

导体的电阻 (resistance of a conductor)

导体/负载 (conductors/loads) 的电阻 (resistance) 常以一个物理电阻 (physical resistor) 代表

Resistor Rating

电阻通常标识其最大功率 (rated in Watts)
电阻的功率不会超过该最大功率

Resistor Type

电阻上通常会有许多颜色带 (colour bar) 来标识其电阻

$R=\overline{AB}\times 10^{C} \pm \mathtt{tol}\% \ (\Omega)$
(具体的颜色-数字对应关系查看 Slides)

Variable Resistor/Rheostat 可变电阻(滑动变阻器)

电路的类型

Series, Parallel and Mixed

• Series circuits 串联电路 (connected end-to-end)
  $R_{\mathtt{total}}=\sum_i R_i$
• Parallel circuits 并联电路 (both ends are connected)
  $\frac{1}{R_{\mathtt{total}}}=\sum_i \frac{1}{R_i}$
• A mixture of both 混联电路

基尔霍夫电压/电流定律 Kirchhoff's Law

• Kirchhoff’s Voltage Law (KVL)
  在任意电路闭环中 (closed loop)，总电势差 (potential drop) $=$ 总电动势 (EMF, Electromotive force)
  很好理解，电动势的产生使得电势升高，又在随后被降低至原位 (本质上是能量守恒定律)
• Kirchhoff's Current Law (KCL)
  对于电路中的任意节点 (node/junction)，流入该节点的电流 $=$ 流出该节点的电流
  流入节点的电流为 $+$，流出节点的电流为 $-$，所以对于某个节点 $p$, $\sum_k I_k=0$

Delta-Star Transformation ($\Delta$-$Y$ transformation)

[$\Delta$ 型电路]
[星型 / $Y$ 型电路]
观察 $\Delta$ 型电路，我们利用并联电阻法则计算两点之间的等价电阻
$R_{AC}=R_2||(R_1+R_3)=\frac{R_2(R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$
$R_{BC}=R_1||(R_2+R_3)=\frac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}$
$R_{AC}=R_3||(R_1+R_2)=\frac{R_3(R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}$
若要将 $\Delta$ 型电路转变为 $Y$ 型电路，有
$R_{AC}=R'_{AC}=R_a+R_c$
$R_{BC}=R'_{BC}=R_b+R_c$
$R_{AB}=R'_{AB}=R_a+R_b$
三个方程，三个位置数，我们解得
$R_a=\frac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}$ ($R_2, R_3$ 是 $A$ 邻接的电阻)
$R_b=\frac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3}$ ($R_1, R_3$ 是 $B$ 邻接的电阻)
$R_c=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}$ ($R_1, R_2$ 是 $C$ 邻接的电阻)
In general form，即是 $R_y=\frac{R'R''}{\sum R_{\Delta}}$ ($R, R''$ 是 $y$ 邻接的电阻)

Potential Divider Circuit 串联分压

对于串联的两电阻 $R_1, R_2$，流过他们的电流 $I_1=I_2$
因此有 $V_1/V_2=I_1R_1/I_2R_2=R_1/R_2$
若总电动势为 $V_S$，则 $V_1=V_S \frac{R_1}{R_1+R_2}$, $V_2=V_S \frac{R_2}{R_1+R_2}$

Current Divider Circuit 并联分流

对于并联的两电阻 $R_1, R_2$，其上施加的电压 $V_1=V_2$
因此有 $I_1/I_2=(V_1/R_1)/(V_2/R_2)=R_2/R_1$
若流过 $R_1, R_2$ 的总电流为 $I$, 则 $I_1=I \frac{R_2}{R_1+R_2}, I_2=I \frac{R_1}{R_1+R_2}$

Series Connection of Cells 串联单体

Cell 指的是电池的单体，每一个 Cell 都能提供 $1.5V$ 的电动势
$n$ 个 Cells 进行串联，得到的电动势为 $1.5n$
注意极性：串联时，一个单体的正极连接另一个单体的负极

Parallel Connection of Cells 并联单体

并联的 Cell 虽然提供的电动势相同，但是产生的电流更大

理想情况 (Cell 的电阻不计) 下，两个 Cells 向负载提供相同的电流 $I_1=I_2=0.5I$

三相交流电 Three-Phase AC

交流电 (Alternating Current) 的产生，使得远距离输电成为可能
(由于交流电的电流不断的变化，其引发的电磁感应现象使得电压的变化相对容易)

AC Resistive Circuits

这是一个最简单的 AC 电路，由 AC power source 与电阻组成

这是该电路的伏安性质:

• 电压与电流都是 Sinusoidal form，且频率相同
• 电压与电流 in phase with each other
• 在任意时刻，电压与电流都满足 Ohm's Law

Phase & Phasor

Phasor 相量

在工程学中，一个正弦函数 $v(t)=V_m\sin(\omega t+\alpha)$ 的 $V_m, \omega, \alpha$ 不随时间变化，那么该函数是一个 phasor (相量)
或者说，振幅，频率与相位角不随时间变化，从而保证了相位 (phase, $\omega t+\alpha$) 不随时间变化
两个 phasors 可以有相同的频率与振幅，但相位不同: 相位差 (phase difference) 即使两个相同频率的 phasors 之间相位之差

如上图，两个 phasors 的相位差 (phase difference) $\omega_1 t+\alpha_1-\omega_2 t-\alpha_2=\alpha_1-\alpha_2=\pi/2$

3-Phase 三相

三相即为三个频率相同的 phasors: 这三个 phasors 两两之间的相位差相同 ($2\pi/3$)

(上图是三相发电机的平衡系统)

三相中三个 phasors 的关系: 可以看出，任意两个 phasors 之间的相位差都是 $2\pi/3$

3-Phase Source & Load

三相电路有两种接法，就是我们之前所提到的 $\Delta$ 型接法与 星/$Y$ 型接法

其中，$\Delta$ 型接法 Line Current$=$ $\sqrt{3}$ Phase Current, Line Voltage $=$ Phase Voltage
星/$Y$ 型接法 Line Current $=$ Phase Current, Line Voltage $=$ $\sqrt{3}$ Phase Voltage

串/并联 AC resistive circuit

Series AC resistive circuit

Parallel AC resistive circuit

很好理解，需要注意的是

• 电流时时刻刻与电压同步 (in phase with)
• 在涉及 AC 电路的计算时，电流与电压所采用的数值都是有效值 (RMS/effective value)

Capacitors 电容器

电容器是一种 2-terminal devices，通过两电极板储存能量 (以储存静电荷 electrostatic charges 的形式)。给定电压，电容器储存电荷的能力称为电容 (capacitance)
电容器的构成：$2$ parallel conductive plate seperated by dielectric insulating layer
电容的单位是 $F$ (Farad)
常见的单位还有 $\mu F=10^{-6}F, nF=10^{-9}F, pF=10^{-12}F$

Polarised Capacitor 极性电容器

极性电容器的 $+ve$ 极必须连接高电动势 (electromotive force) 端，$-ve$ 极连接低电动势端
因此，极性电容器大多用在 直流电路 (DC) 中

电容器的充电 charge 与放电 discharge

在 DC 电源下:
充电时，电容器两端电压 $++$，直到与电源电动势相等；电流则由最大值 $--$ 直到 $0$
(这也是正/负电荷逐渐在导体板上积累的过程；充电完毕后，只要外部的电动势存在，电荷会一直留在导体板上)
放电时，电容器两端电压 $--$，直到变为 $0$; 电流由最大值 $--$ 直到 $0$

电容 Capacitance

电容 (Capacitance) 用来定量描述电容器的储存电荷的性质：
外部施加的单位电压 (per unit voltage applied) 下，电容器能储存的电荷量 (the amount of charge)
即 $C=Q/V$ 或 $Q=CV$
其单位分别是：$F$ (电容), $C$ (电荷量，库伦), $V$ (伏特)

Energy Stored in Capacitor

当外部施加的电压为 $V$ 时，电容为 $C$ 的电容器能储存的电能
$W_C=1/2CV^2$ 或 $W_C=Q^2/2C$
$W$ 的单位是 $J$ (焦耳，Joules)

Capacitor value codes/label

电容器上通常有标识标注其电容

• 对大电容：电容直接打印在电容器上
• $2$-digit code: $23$ 代表 $23 pF=23\times 10^{-12} F$
• $3$-digit code: $473$ 最后一个数字代表 $10$ 的次方: $47\times 10^3 pF=47 nF$
• $3$-digit plus one letter code: 字母代表 tolerance

串联电容器 Capacitors in Series

对于串联的电容器，电路中的电流时刻相等 $I_T=I_{C1}=I_{C2}=I_{C3}$
且电容器所储存的电荷量也一定相等 (相邻电极板中，一方通过感应使另一方产生等量的异种电荷) $Q_T=Q_1=Q_2=Q_3$
因为 $V_T=V_1+V_2+V_3$，又 $V=Q/C$
有 $Q_T/C_T=Q_1/C_1+Q_2/C_2+Q_3/C_3$，于是 $1/C_T=1/C_1+1/C_2+1/C_3$
类似的，$n$ 个电容器串联，总电容的倒数与各电容的倒数有以下关系 $\frac{1}{C_T}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{C_i}$

并联电容器 Capacitors in Parallel

对于并联的电容器，每一条分支上的电压相等，即 $V_T=V_1=V_2=V_3$
$C_T=Q_T/V_T=(C_1V_1+C_2V_2+C_3V_3)/V_T=C_1+C_2+C_3$
类似的，对于 $n$ 个并联的电容器，总电容 $C_T=\sum_{i=1}^n C_i$

例题:

某电容器 $C_1$ 向另一电容器 $C_2$ 充电直至达到平衡状态
利用平衡状态下的电压关系 $V_1=V_2$ 进行求解

Capacitors in AC circuits

• AC 的频率: 电容器高频通，低频断
  
• 由于 AC 的方向持续改变，电容器也将会持续的进行充电/放电过程 (charging/discharging process)，该过程导致了电压与电流的不同步 (out-of-phase)
  电流将领先电压 $1/4$ 个周期
  

Capacitors: Application

• 在电路中储存能量 ($\frac{1}{2}CV^2$)
• Coupling (耦合) AC signal and Decoupling (解耦合) DC signal
• Smoothing and Filtering noise in signal
• 作为 LC 震荡 (tuned resonant) 电路 的组成部分

Inductors 电感器

电感器也是一种 $2$-terminal device，其拥有的性质称为 电感 (inductance)
当电流流过电感器时，电感器以磁通量 (magnetic flux) 的形式储存能量
电感是由 central core 与紧紧缠绕其的导线组成的，central core 一般是一个 圆柱体 (cylindrical rod) 或是 环 (continuous ring)
电感的单位是 $H$ (Henry)
常见的单位还有 $\mu H=10^{-6}H, mH=10^{-9}H, pH=10^{-12}H$

Energizing an inductor

当直流电源连接电感器时，电流由小变大，直至打到 $I_m=V/R$ ($R$ 为该电感器的电阻)
在此过程中，inductor magnetically energizes，将电流转化为磁场 (magnetic field)

Energy stored in inductor

与电容器类似，电感为 $L$ 的电感器中储存的能量为
$W_L=\frac{1}{2} LI^2$

串联/并联 电感 Inductors in series/parallel

电感的计算公式不要求掌握，我们只需要记住总电感与各分电感的关系与电阻一致，即

• 在串联电感器系统中 $L_T=\sum_{i=1}^n L_i$
• 在并联电感器系统中 $\frac{1}{L_T}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{L_i}$

Inductors in AC Circuits

我们知道电压能够引致通过电感器的电流由 $0$ 增长到最大值
而 AC 在电流增长到最大值之前 改变方向 (changes polarity)，也就是说，电流相比电压是 延迟的 (delayed)

注意这一点！！-

• AC 电路中的电容器，电路中电流的相位 领先 (lead) 电容器两端电压相位 $\frac{1}{4} \cdot 2\pi=\pi/2$
• AC 电路中的电感器，电路中电流的相位 落后 (lag) 电感器两端电压相位 $\frac{1}{4}\cdot 2\pi=\pi/2$

Inductor Applications

• 在电路中储存能量
• As chokes to block AC signal and bypasses DC signal
• LC 震荡 (tuned resonant) 电路的组成部分

Reactance 电抗

电容器与电感器与电阻一样，都具有阻碍电流的作用
为了描述其阻碍电流的效果，我们定义容抗 $X_C$, 感抗 $X_L$ (单位与电阻一致，为欧姆 $\Omega$)
$X_C=(\omega C)^{-1}=(2\pi f C)^{-1}$
$X_L=(\omega L)=(2\pi fL)$
例题


我们已知电压 $V$，求电流 $I$，则先计算电容和电感的 电抗 (reactance)
由 AC 电压的公式得 $\omega=1000 rad/s$，且 $1mF=10^{-3}F, 1mH=10^{-3}H$
$X_C=(1000\times 10^{-3})^{-1}=1\Omega$
$X_L=(1000\times 10^{-1})=1\Omega$
那么电流
$I_C=\frac{10}{1}\sin(1000t-0.5\pi)=-10\cos(1000t) \ (A)$ (幅度: 电压/电抗$=$电流；相位: 电流比电压领先 $\pi/2$)
$I_L=\frac{10}{1}\sin(1000t+0.5\pi)=10\cos(1000t) \ (A)$ (幅度: 电压/电抗$=$电流；相位: 电流比电压落后 $\pi/2$)
代入对应得 $t$ 即可求出瞬时电流