ENGG1310 P3.2 Resistor, Inductor, Capacitor, and RLC Circuits
这一节里关于三相电的内容最为重要，注意复习
Resistor 电阻
Physical 2-terminal energy-dissipative device.
电阻定律
电阻同样与温度 \(T\) 有关 (然而 Temperature is neglected for the time being)，一般来说温度越高，电阻越大
电阻的伏安性质
电阻的 \(R\) 功率损失 (Power Loss) (即电能损失的功率/热能产生的功率)
\(P=I^2 R=U^2/R\)
导体的电阻 (resistance of a conductor)
导体/负载 (conductors/loads) 的电阻 (resistance) 常以一个物理电阻 (physical resistor) 代表
Resistor Rating
电阻通常标识其最大功率 (rated in Watts)
电阻的功率不会超过该最大功率
Resistor Type
电阻上通常会有许多颜色带 (colour bar) 来标识其电阻
\(R=\overline{AB}\times 10^{C} \pm \mathtt{tol}\% \ (\Omega)\)
(具体的颜色-数字对应关系查看 Slides)
Variable Resistor/Rheostat 可变电阻(滑动变阻器)
电路的类型
Series, Parallel and Mixed
- Series circuits 串联电路 (connected end-to-end)
\(R_{\mathtt{total}}=\sum_i R_i\) - Parallel circuits 并联电路 (both ends are connected)
\(\frac{1}{R_{\mathtt{total}}}=\sum_i \frac{1}{R_i}\) - A mixture of both 混联电路
基尔霍夫电压/电流定律 Kirchhoff's Law
- Kirchhoff’s Voltage Law (KVL)
在任意电路闭环中 (closed loop)，总电势差 (potential drop) \(=\) 总电动势 (EMF, Electromotive force)
很好理解，电动势的产生使得电势升高，又在随后被降低至原位 (本质上是能量守恒定律) - Kirchhoff's Current Law (KCL)
对于电路中的任意节点 (node/junction)，流入该节点的电流 \(=\) 流出该节点的电流
流入节点的电流为 \(+\)，流出节点的电流为 \(-\)，所以对于某个节点 \(p\), \(\sum_k I_k=0\)
Delta-Star Transformation (\(\Delta\)-\(Y\) transformation)
[\(\Delta\) 型电路]
[星型 / \(Y\) 型电路]
观察 \(\Delta\) 型电路，我们利用并联电阻法则计算两点之间的等价电阻
\(R_{AC}=R_2||(R_1+R_3)=\frac{R_2(R_1+R_3)}{R_1+R_2+R_3}\)
\(R_{BC}=R_1||(R_2+R_3)=\frac{R_1(R_2+R_3)}{R_1+R_2+R_3}\)
\(R_{AC}=R_3||(R_1+R_2)=\frac{R_3(R_1+R_2)}{R_1+R_2+R_3}\)
若要将 \(\Delta\) 型电路转变为 \(Y\) 型电路，有
\(R_{AC}=R'_{AC}=R_a+R_c\)
\(R_{BC}=R'_{BC}=R_b+R_c\)
\(R_{AB}=R'_{AB}=R_a+R_b\)
三个方程，三个位置数，我们解得
\(R_a=\frac{R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}\) (\(R_2, R_3\) 是 \(A\) 邻接的电阻)
\(R_b=\frac{R_1R_3}{R_1+R_2+R_3}\) (\(R_1, R_3\) 是 \(B\) 邻接的电阻)
\(R_c=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2+R_3}\) (\(R_1, R_2\) 是 \(C\) 邻接的电阻)
In general form，即是 \(R_y=\frac{R'R''}{\sum R_{\Delta}}\) (\(R, R''\) 是 \(y\) 邻接的电阻)
Potential Divider Circuit 串联分压
对于串联的两电阻 \(R_1, R_2\)，流过他们的电流 \(I_1=I_2\)
因此有 \(V_1/V_2=I_1R_1/I_2R_2=R_1/R_2\)
若总电动势为 \(V_S\)，则 \(V_1=V_S \frac{R_1}{R_1+R_2}\), \(V_2=V_S \frac{R_2}{R_1+R_2}\)
Current Divider Circuit 并联分流
对于并联的两电阻 \(R_1, R_2\)，其上施加的电压 \(V_1=V_2\)
因此有 \(I_1/I_2=(V_1/R_1)/(V_2/R_2)=R_2/R_1\)
若流过 \(R_1, R_2\) 的总电流为 \(I\), 则 \(I_1=I \frac{R_2}{R_1+R_2}, I_2=I \frac{R_1}{R_1+R_2}\)
Series Connection of Cells 串联单体
Cell 指的是电池的单体，每一个 Cell 都能提供 \(1.5V\) 的电动势
\(n\) 个 Cells 进行串联，得到的电动势为 \(1.5n\)
注意极性：串联时，一个单体的正极连接另一个单体的负极
Parallel Connection of Cells 并联单体
并联的 Cell 虽然提供的电动势相同，但是产生的电流更大
理想情况 (Cell 的电阻不计) 下，两个 Cells 向负载提供相同的电流 \(I_1=I_2=0.5I\)
三相交流电 Three-Phase AC
交流电 (Alternating Current) 的产生，使得远距离输电成为可能
(由于交流电的电流不断的变化，其引发的电磁感应现象使得电压的变化相对容易)
AC Resistive Circuits
这是一个最简单的 AC 电路，由 AC power source 与电阻组成
这是该电路的伏安性质:
- 电压与电流都是 Sinusoidal form，且频率相同
- 电压与电流 in phase with each other
- 在任意时刻，电压与电流都满足 Ohm's Law
Phase & Phasor
Phasor 相量
在工程学中，一个正弦函数 \(v(t)=V_m\sin(\omega t+\alpha)\) 的 \(V_m, \omega, \alpha\) 不随时间变化，那么该函数是一个 phasor (相量)
或者说，振幅，频率与相位角不随时间变化，从而保证了相位 (phase, \(\omega t+\alpha\)) 不随时间变化
两个 phasors 可以有相同的频率与振幅，但相位不同: 相位差 (phase difference) 即使两个相同频率的 phasors 之间相位之差
如上图，两个 phasors 的相位差 (phase difference) \(\omega_1 t+\alpha_1-\omega_2 t-\alpha_2=\alpha_1-\alpha_2=\pi/2\)
3-Phase 三相
三相即为三个频率相同的 phasors: 这三个 phasors 两两之间的相位差相同 (\(2\pi/3\))
(上图是三相发电机的平衡系统)
三相中三个 phasors 的关系: 可以看出，任意两个 phasors 之间的相位差都是 \(2\pi/3\)
3-Phase Source & Load
三相电路有两种接法，就是我们之前所提到的 \(\Delta\) 型接法与 星/\(Y\) 型接法
其中，\(\Delta\) 型接法 Line Current\(=\) \(\sqrt{3}\) Phase Current, Line Voltage \(=\) Phase Voltage
星/\(Y\) 型接法 Line Current \(=\) Phase Current, Line Voltage \(=\) \(\sqrt{3}\) Phase Voltage
串/并联 AC resistive circuit
Series AC resistive circuit
Parallel AC resistive circuit
很好理解，需要注意的是
- 电流时时刻刻与电压同步 (in phase with)
- 在涉及 AC 电路的计算时，电流与电压所采用的数值都是有效值 (RMS/effective value)
Capacitors 电容器
电容器是一种 2-terminal devices，通过两电极板储存能量 (以储存静电荷 electrostatic charges 的形式)。给定电压，电容器储存电荷的能力称为电容 (capacitance)
电容器的构成：\(2\) parallel conductive plate seperated by dielectric insulating layer
电容的单位是 \(F\) (Farad)
常见的单位还有 \(\mu F=10^{-6}F, nF=10^{-9}F, pF=10^{-12}F\)
Polarised Capacitor 极性电容器
极性电容器的 \(+ve\) 极必须连接高电动势 (electromotive force) 端，\(-ve\) 极连接低电动势端
因此，极性电容器大多用在 直流电路 (DC) 中
电容器的充电 charge 与放电 discharge
在 DC 电源下:
充电时，电容器两端电压 \(++\)，直到与电源电动势相等；电流则由最大值 \(--\) 直到 \(0\)
(这也是正/负电荷逐渐在导体板上积累的过程；充电完毕后，只要外部的电动势存在，电荷会一直留在导体板上)
放电时，电容器两端电压 \(--\)，直到变为 \(0\); 电流由最大值 \(--\) 直到 \(0\)
电容 Capacitance
电容 (Capacitance) 用来定量描述电容器的储存电荷的性质：
外部施加的单位电压 (per unit voltage applied) 下，电容器能储存的电荷量 (the amount of charge)
即 \(C=Q/V\) 或 \(Q=CV\)
其单位分别是：\(F\) (电容), \(C\) (电荷量，库伦), \(V\) (伏特)
Energy Stored in Capacitor
当外部施加的电压为 \(V\) 时，电容为 \(C\) 的电容器能储存的电能
\(W_C=1/2CV^2\) 或 \(W_C=Q^2/2C\)
\(W\) 的单位是 \(J\) (焦耳，Joules)
Capacitor value codes/label
电容器上通常有标识标注其电容
- 对大电容：电容直接打印在电容器上
- \(2\)-digit code: \(23\) 代表 \(23 pF=23\times 10^{-12} F\)
- \(3\)-digit code: \(473\) 最后一个数字代表 \(10\) 的次方: \(47\times 10^3 pF=47 nF\)
- \(3\)-digit plus one letter code: 字母代表 tolerance
串联电容器 Capacitors in Series
对于串联的电容器，电路中的电流时刻相等 \(I_T=I_{C1}=I_{C2}=I_{C3}\)
且电容器所储存的电荷量也一定相等 (相邻电极板中，一方通过感应使另一方产生等量的异种电荷) \(Q_T=Q_1=Q_2=Q_3\)
因为 \(V_T=V_1+V_2+V_3\)，又 \(V=Q/C\)
有 \(Q_T/C_T=Q_1/C_1+Q_2/C_2+Q_3/C_3\)，于是 \(1/C_T=1/C_1+1/C_2+1/C_3\)
类似的，\(n\) 个电容器串联，总电容的倒数与各电容的倒数有以下关系 \(\frac{1}{C_T}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{C_i}\)
并联电容器 Capacitors in Parallel
对于并联的电容器，每一条分支上的电压相等，即 \(V_T=V_1=V_2=V_3\)
\(C_T=Q_T/V_T=(C_1V_1+C_2V_2+C_3V_3)/V_T=C_1+C_2+C_3\)
类似的，对于 \(n\) 个并联的电容器，总电容 \(C_T=\sum_{i=1}^n C_i\)
例题:
某电容器 \(C_1\) 向另一电容器 \(C_2\) 充电直至达到平衡状态
利用平衡状态下的电压关系 \(V_1=V_2\) 进行求解
Capacitors in AC circuits
- AC 的频率: 电容器高频通，低频断
- 由于 AC 的方向持续改变，电容器也将会持续的进行充电/放电过程 (charging/discharging process)，该过程导致了电压与电流的不同步 (out-of-phase)
电流将领先电压 \(1/4\) 个周期
Capacitors: Application
- 在电路中储存能量 (\(\frac{1}{2}CV^2\))
- Coupling (耦合) AC signal and Decoupling (解耦合) DC signal
- Smoothing and Filtering noise in signal
- 作为 LC 震荡 (tuned resonant) 电路 的组成部分
Inductors 电感器
电感器也是一种 \(2\)-terminal device，其拥有的性质称为 电感 (inductance)
当电流流过电感器时，电感器以磁通量 (magnetic flux) 的形式储存能量
电感是由 central core 与紧紧缠绕其的导线组成的，central core 一般是一个 圆柱体 (cylindrical rod) 或是 环 (continuous ring)
电感的单位是 \(H\) (Henry)
常见的单位还有 \(\mu H=10^{-6}H, mH=10^{-9}H, pH=10^{-12}H\)
Energizing an inductor
当直流电源连接电感器时，电流由小变大，直至打到 \(I_m=V/R\) (\(R\) 为该电感器的电阻)
在此过程中，inductor magnetically energizes，将电流转化为磁场 (magnetic field)
Energy stored in inductor
与电容器类似，电感为 \(L\) 的电感器中储存的能量为
\(W_L=\frac{1}{2} LI^2\)
串联/并联 电感 Inductors in series/parallel
电感的计算公式不要求掌握，我们只需要记住总电感与各分电感的关系与电阻一致，即
- 在串联电感器系统中 \(L_T=\sum_{i=1}^n L_i\)
- 在并联电感器系统中 \(\frac{1}{L_T}=\sum_{i=1}^n \frac{1}{L_i}\)
Inductors in AC Circuits
我们知道电压能够引致通过电感器的电流由 \(0\) 增长到最大值
而 AC 在电流增长到最大值之前 改变方向 (changes polarity)，也就是说，电流相比电压是 延迟的 (delayed)
注意这一点！！-
- AC 电路中的电容器，电路中电流的相位 领先 (lead) 电容器两端电压相位 \(\frac{1}{4} \cdot 2\pi=\pi/2\)
- AC 电路中的电感器，电路中电流的相位 落后 (lag) 电感器两端电压相位 \(\frac{1}{4}\cdot 2\pi=\pi/2\)
Inductor Applications
- 在电路中储存能量
- As chokes to block AC signal and bypasses DC signal
- LC 震荡 (tuned resonant) 电路的组成部分
Reactance 电抗
电容器与电感器与电阻一样，都具有阻碍电流的作用
为了描述其阻碍电流的效果，我们定义容抗 \(X_C\), 感抗 \(X_L\) (单位与电阻一致，为欧姆 \(\Omega\))
\(X_C=(\omega C)^{-1}=(2\pi f C)^{-1}\)
\(X_L=(\omega L)=(2\pi fL)\)
例题
我们已知电压 \(V\)，求电流 \(I\)，则先计算电容和电感的 电抗 (reactance)
由 AC 电压的公式得 \(\omega=1000 rad/s\)，且 \(1mF=10^{-3}F, 1mH=10^{-3}H\)
\(X_C=(1000\times 10^{-3})^{-1}=1\Omega\)
\(X_L=(1000\times 10^{-1})=1\Omega\)
那么电流
\(I_C=\frac{10}{1}\sin(1000t-0.5\pi)=-10\cos(1000t) \ (A)\) (幅度: 电压/电抗\(=\)电流；相位: 电流比电压领先 \(\pi/2\))
\(I_L=\frac{10}{1}\sin(1000t+0.5\pi)=10\cos(1000t) \ (A)\) (幅度: 电压/电抗\(=\)电流；相位: 电流比电压落后 \(\pi/2\))
代入对应得 \(t\) 即可求出瞬时电流
