ENGG1310 P3.2 Resistor, Inductor, Capacitor, and RLC Circuits

这一节里关于三相电的内容最为重要,注意复习

Resistor 电阻


Physical 2-terminal energy-dissipative device.

电阻定律


电阻同样与温度 T 有关 (然而 Temperature is neglected for the time being),一般来说温度越高,电阻越大

电阻的伏安性质

电阻的 R 功率损失 (Power Loss) (即电能损失的功率/热能产生的功率)
P=I2R=U2/R

导体的电阻 (resistance of a conductor)

导体/负载 (conductors/loads) 的电阻 (resistance) 常以一个物理电阻 (physical resistor) 代表

Resistor Rating

电阻通常标识其最大功率 (rated in Watts)
电阻的功率不会超过该最大功率

Resistor Type

电阻上通常会有许多颜色带 (colour bar) 来标识其电阻

R=AB¯×10C±tol% (Ω)
(具体的颜色-数字对应关系查看 Slides)

Variable Resistor/Rheostat 可变电阻(滑动变阻器)

电路的类型

Series, Parallel and Mixed

  • Series circuits 串联电路 (connected end-to-end)
    Rtotal=iRi
  • Parallel circuits 并联电路 (both ends are connected)
    1Rtotal=i1Ri
  • A mixture of both 混联电路

基尔霍夫电压/电流定律 Kirchhoff's Law

  • Kirchhoff’s Voltage Law (KVL)
    在任意电路闭环中 (closed loop)总电势差 (potential drop) = 总电动势 (EMF, Electromotive force)
    很好理解,电动势的产生使得电势升高,又在随后被降低至原位 (本质上是能量守恒定律)
  • Kirchhoff's Current Law (KCL)
    对于电路中的任意节点 (node/junction),流入该节点的电流 = 流出该节点的电流
    流入节点的电流为 +,流出节点的电流为 ,所以对于某个节点 p, kIk=0

Delta-Star Transformation (Δ-Y transformation)

[Δ 型电路]
[星型 / Y 型电路]
观察 Δ 型电路,我们利用并联电阻法则计算两点之间的等价电阻
RAC=R2||(R1+R3)=R2(R1+R3)R1+R2+R3
RBC=R1||(R2+R3)=R1(R2+R3)R1+R2+R3
RAC=R3||(R1+R2)=R3(R1+R2)R1+R2+R3
若要将 Δ 型电路转变为 Y 型电路,有
RAC=RAC=Ra+Rc
RBC=RBC=Rb+Rc
RAB=RAB=Ra+Rb
三个方程,三个位置数,我们解得
Ra=R2R3R1+R2+R3 (R2,R3A 邻接的电阻)
Rb=R1R3R1+R2+R3 (R1,R3B 邻接的电阻)
Rc=R1R2R1+R2+R3 (R1,R2C 邻接的电阻)
In general form,即是 Ry=RRRΔ (R,Ry 邻接的电阻)

Potential Divider Circuit 串联分压

对于串联的两电阻 R1,R2,流过他们的电流 I1=I2
因此有 V1/V2=I1R1/I2R2=R1/R2
若总电动势为 VS,则 V1=VSR1R1+R2, V2=VSR2R1+R2

Current Divider Circuit 并联分流

对于并联的两电阻 R1,R2,其上施加的电压 V1=V2
因此有 I1/I2=(V1/R1)/(V2/R2)=R2/R1
若流过 R1,R2 的总电流为 I, 则 I1=IR2R1+R2,I2=IR1R1+R2

Series Connection of Cells 串联单体

Cell 指的是电池的单体,每一个 Cell 都能提供 1.5V 的电动势
n 个 Cells 进行串联,得到的电动势为 1.5n
注意极性:串联时,一个单体的正极连接另一个单体的负极

Parallel Connection of Cells 并联单体

并联的 Cell 虽然提供的电动势相同,但是产生的电流更大

理想情况 (Cell 的电阻不计) 下,两个 Cells 向负载提供相同的电流 I1=I2=0.5I

三相交流电 Three-Phase AC

交流电 (Alternating Current) 的产生,使得远距离输电成为可能
(由于交流电的电流不断的变化,其引发的电磁感应现象使得电压的变化相对容易)

AC Resistive Circuits

这是一个最简单的 AC 电路,由 AC power source 与电阻组成

这是该电路的伏安性质:

  • 电压与电流都是 Sinusoidal form,且频率相同
  • 电压与电流 in phase with each other
  • 任意时刻,电压与电流都满足 Ohm's Law

Phase & Phasor

Phasor 相量

在工程学中,一个正弦函数 v(t)=Vmsin(ωt+α)Vm,ω,α 不随时间变化,那么该函数是一个 phasor (相量)
或者说,振幅,频率与相位角不随时间变化,从而保证了相位 (phase, ωt+α) 不随时间变化
两个 phasors 可以有相同的频率与振幅,但相位不同: 相位差 (phase difference) 即使两个相同频率的 phasors 之间相位之差

如上图,两个 phasors 的相位差 (phase difference) ω1t+α1ω2tα2=α1α2=π/2

3-Phase 三相


三相即为三个频率相同的 phasors: 这三个 phasors 两两之间的相位差相同 (2π/3)

(上图是三相发电机的平衡系统)

三相中三个 phasors 的关系: 可以看出,任意两个 phasors 之间的相位差都是 2π/3

3-Phase Source & Load

三相电路有两种接法,就是我们之前所提到的 Δ 型接法与 星/Y 型接法

其中,Δ 型接法 Line Current= 3 Phase Current, Line Voltage = Phase Voltage
星/Y 型接法 Line Current = Phase Current, Line Voltage = 3 Phase Voltage

串/并联 AC resistive circuit

Series AC resistive circuit

Parallel AC resistive circuit

很好理解,需要注意的是

  • 电流时时刻刻与电压同步 (in phase with)
  • 在涉及 AC 电路的计算时,电流与电压所采用的数值都是有效值 (RMS/effective value)

Capacitors 电容器

电容器是一种 2-terminal devices,通过两电极板储存能量 (以储存静电荷 electrostatic charges 的形式)。给定电压,电容器储存电荷的能力称为电容 (capacitance)
电容器的构成:2 parallel conductive plate seperated by dielectric insulating layer
电容的单位是 F (Farad)
常见的单位还有 μF=106F,nF=109F,pF=1012F

Polarised Capacitor 极性电容器


极性电容器的 +ve 极必须连接高电动势 (electromotive force) 端,ve 极连接低电动势端
因此,极性电容器大多用在 直流电路 (DC) 中

电容器的充电 charge 与放电 discharge

在 DC 电源下:
充电时,电容器两端电压 ++,直到与电源电动势相等;电流则由最大值 直到 0
(这也是正/负电荷逐渐在导体板上积累的过程;充电完毕后,只要外部的电动势存在,电荷会一直留在导体板上)
放电时,电容器两端电压 ,直到变为 0; 电流由最大值 直到 0

电容 Capacitance

电容 (Capacitance) 用来定量描述电容器的储存电荷的性质:
外部施加的单位电压 (per unit voltage applied) 下,电容器能储存的电荷量 (the amount of charge)
C=Q/VQ=CV
其单位分别是:F (电容), C (电荷量,库伦), V (伏特)

Energy Stored in Capacitor

当外部施加的电压为 V 时,电容为 C 的电容器能储存的电能
WC=1/2CV2WC=Q2/2C
W 的单位是 J (焦耳,Joules)

Capacitor value codes/label

电容器上通常有标识标注其电容

  • 对大电容:电容直接打印在电容器上
  • 2-digit code: 23 代表 23pF=23×1012F
  • 3-digit code: 473 最后一个数字代表 10 的次方: 47×103pF=47nF
  • 3-digit plus one letter code: 字母代表 tolerance

串联电容器 Capacitors in Series


对于串联的电容器,电路中的电流时刻相等 IT=IC1=IC2=IC3
且电容器所储存的电荷量也一定相等 (相邻电极板中,一方通过感应使另一方产生等量的异种电荷) QT=Q1=Q2=Q3
因为 VT=V1+V2+V3,又 V=Q/C
QT/CT=Q1/C1+Q2/C2+Q3/C3,于是 1/CT=1/C1+1/C2+1/C3
类似的,n 个电容器串联,总电容的倒数与各电容的倒数有以下关系 1CT=i=1n1Ci

并联电容器 Capacitors in Parallel


对于并联的电容器,每一条分支上的电压相等,即 VT=V1=V2=V3
CT=QT/VT=(C1V1+C2V2+C3V3)/VT=C1+C2+C3
类似的,对于 n 个并联的电容器,总电容 CT=i=1nCi

例题:

某电容器 C1 向另一电容器 C2 充电直至达到平衡状态
利用平衡状态下的电压关系 V1=V2 进行求解

Capacitors in AC circuits

  • AC 的频率: 电容器高频通,低频断
  • 由于 AC 的方向持续改变,电容器也将会持续的进行充电/放电过程 (charging/discharging process),该过程导致了电压与电流的不同步 (out-of-phase)
    电流将领先电压 1/4 个周期

Capacitors: Application

  • 在电路中储存能量 (12CV2)
  • Coupling (耦合) AC signal and Decoupling (解耦合) DC signal
  • Smoothing and Filtering noise in signal
  • 作为 LC 震荡 (tuned resonant) 电路 的组成部分

Inductors 电感器

电感器也是一种 2-terminal device,其拥有的性质称为 电感 (inductance)
电流流过电感器时,电感器以磁通量 (magnetic flux) 的形式储存能量
电感是由 central core 与紧紧缠绕其的导线组成的,central core 一般是一个 圆柱体 (cylindrical rod) 或是 环 (continuous ring)
电感的单位是 H (Henry)
常见的单位还有 μH=106H,mH=109H,pH=1012H

Energizing an inductor

当直流电源连接电感器时,电流由小变大,直至打到 Im=V/R (R 为该电感器的电阻)
在此过程中,inductor magnetically energizes,将电流转化为磁场 (magnetic field)

Energy stored in inductor

与电容器类似,电感为 L 的电感器中储存的能量为
WL=12LI2

串联/并联 电感 Inductors in series/parallel



电感的计算公式不要求掌握,我们只需要记住总电感与各分电感的关系与电阻一致,即

  • 在串联电感器系统中 LT=i=1nLi
  • 在并联电感器系统中 1LT=i=1n1Li

Inductors in AC Circuits


我们知道电压能够引致通过电感器的电流由 0 增长到最大值
而 AC 在电流增长到最大值之前 改变方向 (changes polarity),也就是说,电流相比电压是 延迟的 (delayed)

注意这一点!!-

  • AC 电路中的电容器,电路中电流的相位 领先 (lead) 电容器两端电压相位 142π=π/2
  • AC 电路中的电感器,电路中电流的相位 落后 (lag) 电感器两端电压相位 142π=π/2

Inductor Applications

  • 在电路中储存能量
  • As chokes to block AC signal and bypasses DC signal
  • LC 震荡 (tuned resonant) 电路的组成部分

Reactance 电抗

电容器与电感器与电阻一样,都具有阻碍电流的作用
为了描述其阻碍电流的效果,我们定义容抗 XC, 感抗 XL (单位与电阻一致,为欧姆 Ω)
XC=(ωC)1=(2πfC)1
XL=(ωL)=(2πfL)
例题


我们已知电压 V,求电流 I,则先计算电容和电感的 电抗 (reactance)
由 AC 电压的公式得 ω=1000rad/s,且 1mF=103F,1mH=103H
XC=(1000×103)1=1Ω
XL=(1000×101)=1Ω
那么电流
IC=101sin(1000t0.5π)=10cos(1000t) (A) (幅度: 电压/电抗=电流;相位: 电流比电压领先 π/2)
IL=101sin(1000t+0.5π)=10cos(1000t) (A) (幅度: 电压/电抗=电流;相位: 电流比电压落后 π/2)
代入对应得 t 即可求出瞬时电流

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