ENGG1310 P2.2 Data, Logic Gates & Binary Computation

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Data Representations

这里可以和前面介绍的数字信号/模拟信号进行联系
在这里我们将介绍数据的两种表征方式 (data representation): Analogue (模拟) 与 Digital (数字)

• Analog Data
  Analog Data 在时间轴上取值连续 (continuous)
  
  现实生活中的大部分数据，例如气压，亮度，湿度，温度等等，都是 analog 的
  Analog System 可以储存或处理 Analog Data

• Digital Data
  Digital Data 在时间轴上取值离散 (discrete)，且在不同的时间单元上取值不同
  
  在电脑内部进行存储与处理的数据几乎都是 Digital Data (更具体的说，是 Binary Data)

• Digital Abstraction
  Digital Abstraction 将所有的信号抽象成两个离散值 (2 discrete values)，一般是 $0/1$ (True/False)
  这样的好处是
  
  
  

• Analog-to-Digital Conversion
  实际中的数据大多是 Analog 的，然而电脑只能处理 Digital 的数据
  为了令电脑能储存并处理 Analog 的数据，我们需要将 Analog Data 转为 Digital Data
  我们通过 Sampling 与 Quantization 来实现这个过程
  
  Sampling 是指，recording an analog signal at regular discrete units of time (例如，每 $3$ 秒记录一次)
  Quantization 是指，将所有的 analogue value 映射到一个有限的 digital value set 中去

• Analog-to-Digital Converter (ADC)
  一个能够对 Analog Data 进行 Sampling 与 Quantization，并将其转化为 Digital Data 的装置，被称为 Analog-to-Digital Converter (ADC)
  
  1-bit ADC 将 Analog Data 转化为 Binary Data
  ADC 将决定 Binary Data $0/1$ 所代表的

  • logical states：例如 $0/1$ 代表 高/低，冷/热，关/开
  • output voltage：在实际的电路设计中，$0/1$ 将被两个不同的电压表示，一般来说，$0$ 与 $1$ 的代表电压分别是 minimum/maximum allowable voltage

  
  在 Analog-to-Digital 的转化过程中，无论是 sampling 还是 quantization 都会造成信息的错误与丢失 (errors & loss of information)
  转换之后的信息与原信息的差异被称为 quantization error/noise (量化错误/量化噪声)
  虽然 ADC 会导致 loss of information，但是 digital data processing 有其独特的优越性
  
  
  

• Digital-to-Analog Converter (DAC)
  DAC 将 Digital Data 转化为有着连续物理性质的 Analog Data
  例如耳机：其接收到的数据是 Digital Data，但输出的是表现为 Analog Data 的声音
  

Binary Computation

• Binary Representation
  二进制数据 Binary Data 由若干个 $0$ 与 $1$ 表示：这些数字也被称为 比特 (bits) (bits 是 binary digits 的缩写)
  binary/logic value $0$ 被 low voltage 所代表 ($0-0.5V$ 或接地)
  binary/logic value $1$ 被 high voltage 所代表 ($5-5.5V$)

• Binary Digits: Bits
  一个二进制数 binary digits 被称为 比特 bits，它是电脑系统中最基础的信息单元
  一个比特只能代表 $1/0$，其所对应的 electrical status 是开或者关

• Binary numbers
  binary numbers (二进制数) 以 比特串 (bit-string) 的形式表示
  文本，图像这些数据类型均可用比特串进行表示，之后在计算机中进行存储与处理
  一个长度为 $n$ 的比特串可以表示 $2^n$ 个不同的值
  所有现代计算机均 work on binary numbers of data

• Binary Coding 二进制编码
  一个二进制编码方案必须满足以下要求

  • Uniqueness：不同的值必须被不同的二进制编码表示
  • Standardization：二进制编码方案必须是标准化的，这样才能在不同的环境下进行应用
  • Compatibility

• Representation of Decimal Numbers
  公式 $\sum_{i=0}=B^{i}d_i$
  其中 $B$ 被称为 base number，迭代的 $i$ 被称为 $d_i$ 的 position number，这种表达方式被称为 positional-value (PV) system
  $i$ 由 least significant digit (最右侧) 迭代到 most significant digit
  任意 $B$ 进制的数转换为十进制都遵循这一规律

• Decimal to Binary/Hex
  短除法，在 remainder < base 条件下结束
  通过短除法得到的结果：所有的 remainder 由下至上写出来

• Binary $\iff$ Hexadecinal
  二进制数和十六进制数之间的转换遵循这样的规则：
  由右到左 (即从 least significat digit 到 most significant digit) 分解，
  若二进制转十六进制，则 四位一组，并将这四位二进制数写成对应的一位十六进制数 (若到左端的 MSD 凑不到四个，则补上前缀 $0$)
  若十六进制转二进制，则逐位将一位十六进制数写成对应的二进制数
  

Number representation

感觉是这堂课中为数不多的干货内容，，，趁着机会好好了解下二进制数的负数表达

• Unsigned number
  一个 $n$ 位的比特串可以表示 $[0,2^{n-1}]$ 中的所有无符号整数 (unsigned number)

• Signed number
  下面我们介绍三种计算机处理符号的方式，分别有

  • Sign-Magnitude 符号-大小法
  • 1's complement 反码法
  • 2's complement 补码法

  其中，现代的所有计算机都是采用 补码法 2's complement 来表达负数

• Sign-Magnitude 原码
  将比特串的 Most Significant Bit (MSB) 作为符号位 (sign bit)，负数取 $0$，整数取 $1$
  例：$\{1110\}_2=-6, \{0110\}_2=6$
  在 Sign-Magnitude 表示法下，一个 $n$ 位的比特串可以表示数的范围是 $[-(2^{n-1}-1), 2^{n-1}-1]$
  这一表示法虽然最便于人类理解，但是对于机器而言，实现一些运算显得很复杂 (这是符号位的缘故)，以加法为例
  
  (当 $A,B$ 符号不同时，考虑 $4$ 种情况，$2$ ($A,B$ 的正负号情况) $\times 2$ ($|A|, |B|$ 的相对大小情况))
  并且对于 $0$ 将会有两种表达：$+0$ 与 $-0$

• 1's complement 反码
  为了将减法转化为加法，反码出现了：我们知道对于 $n$ 位二进制数，减去某个数 $x$ 等于加上 $2^{n}-x$
  然而在计算 $2^n-x$ 的过程中仍然要用到减法；幸运的是，对于二进制表示，对 $x$ 取反码 $\overline{x}$ 实际上等于 $2^{n}-1-x$
  反码表示法应运而生：对于正整数，其反码等于自身原码；对于负整数，其反码等于其原码除符号位以外的所有位数翻转
  例：$\{00010111\}_2=23_{1's}, \{11101000\}_2=-23_{1's}$
  同样，在 1's complement 表示法下，一个 $n$ 位的比特串可以表示的数的范围是 $[-(2^{n-1}-1), 2^{n-1}-1]$
  反码表示法用来运算加法简单一些：
  
  但是，这种方法对于 $0$ 仍然有两种表达 $+0=\{0...0000\}_2$ 与 $-0=\{1...1111\}$

• 2's complement 补码
  在反码表示的加法中，我们仍然要通过讨论是否进位对结果进行修改 $+1$；这是由于 $\overline{x}=2^{n}-1-x$
  那么如果我们定义补码 $\widetilde{x}=2^{n}-x$，在进行加法时就无需修改结果了：因此 $\widetilde{x}=\overline{x}+1$
  对于正整数，其补码等于自身原码；对于负整数，其补码等于其反码 $+1$
  例：对于 $-7$，我们先写出它的原码 (4-bit 二进制表示) $\{1111\}_2$，再对除了符号位外的所有位取反 $+1$ 获得 $\{1001\}_2$
  对于负整数补码，我们如何得到其原码：只要再进行一次求补 (取反 $+1$) 即可
  补码表示法可以直接将减法变为加法，其运算最简单 (减去一个数相当于，加上一个负数，相当于加上该负数的补码)
  

  接下来我们对 $n$ 位二进制补码表示法能表示的数的范围进行研究
  在原码与反码表示中，$0$ 由于符号不同有两种表示 $+0$ 与 $-0$，这明显很不自然
  而在补码表示中，我们尝试求 $+0$ 与 $-0$：显然，$+0=\{00...0_n\}$
  而对于 $-0$，我们先写出其原码 $\{100...0_n\}$，在求反码 $+1$：此时我们发现会得到一个长度为 $n+1$ 的串 $\{100...0_{n+1}\}$
  由于二进制只有 $n$ 位，MSB 将会被舍弃，于是我们又得到了 $\{00...0_n\}$：补码完美解决了 $0$ 有两种表示 $+0$，$-0$ 的问题
  那么，$\{100...0_n\}$ 的意义便产生了空缺
  根据 $-(2^{n-1})=(-1)+(-(2^{n-1}-1))=\{10...01\}_{0's}+\{11...11\}_{0's}=\{11...11\}_{2's}+\{10...01\}_{2's}=\{10...0\}_{2's}$ (这里同样溢出了一位 $1$)
  我们规定 $\{100...0_n\}$ 作为 $-2^{n-1}$ 的补码 (由于该补码原来是用来表示 $-0$ 的，我们指定其意义为 $-2^{n-1}$，因此 $-2^{n-1}$ 在 $n$ 位二进制下没有原码和反码，只有补码)
  所以，在 2's complement 表示法下，一个 $n$ 位的比特串可以表示的数的范围是 $[-2^{n-1}, 2^{n-1}-1]$，比原码或反码表示法多一个最小值 $-2^{n-1}$ (这是由于 $-0$ 空出的位置)

• 总结
  
  对于某一个 $n$ 位二进制 pattern，若
  求 unsigned values: base-position 法
  是原码，求对应值：MSB 决定符号，剩余的 $n-1$ 位进行 base-position 法
  是反码，求对应值：MSB 决定符号，剩余的 $n-1$ 位先取反，得到原码后再进行 base-position 法
  是补码，求对应值：MSB 决定符号，剩余的 $n-1$ 位先取补 (取反 $+1$)，得到原码后再进行 base-position 法；特殊的，若补码形式是 $\{100...0\}$，则对应值为 $-2^{n-1}$

Logic Gate 逻辑门

同样也有很多干货，介绍了基础的逻辑门

• The primitive - Logic Gate
  逻辑门是对二进制数字信号的最基础控制
  基础逻辑门接受 $1$ 或 $2$ 个信号，输出 $1$ 个信号 (complex 逻辑门可接受 $> 2$ 个信号，但输出信号只有 $1$ 个)
  
  所有的逻辑运算都能用三个特征表示：真值表 Truth Table，示意图 Schematics 与布尔表达式 Boolean Expression

• Truth Table 真值表
  真值表描述对于所有输入，某个布尔函数的所有输出
  All possible combinations of inputs are listed.
  A truth table uniquely and completely describes a Boolean function.

• 非门 NOT gate
  

• 与门 AND gate
  

• 或门 OR gate
  
  注意自然语言中的 "或" 与逻辑语言中的 "或" 的区别

• Other Simple Gate
  注意，所有的逻辑函数 (logic function)，无论多复杂，都能被 非门，与门，或门 三个基本逻辑门进行表示

  • 异或门 XOR gate
    
  • 与非门，或非门 NAND，NOR
    
    与门与非门结合，或门与非门结合
    很好理解，与非门，或非门的真值表与与门，或门恰好相反；注意示意图中的泡泡 bubble 是非门的特征

• Combinational Functions
  复杂的函数能由简单的函数复合而成
  我们定义一个函数是 可复合的 combinational 当且仅当它符合以下的条件

  • 所有组成它的函数是 combinational 的
  • There is no loop in the combination
    所谓 loop 循环，就是指某个输出的信号同时又作为输入产生它自身；下面的这个函数有 loop
    
  • 任何一个输入信号只参与产生一个输出信号 (只能多对一，不能一对多)
    下面的这个函数，$a$ 与 $b$ 同时参与了两个信号的产生，因此不是 combinational 的
    

• Hierarchy
  直接当成程序里的函数就行了，很好理解：一个函数的输出可以作为另一个函数的输入
  函数之间的依赖关系形成了一个 hierarchy
  、
  
  

• Precedence 优先级
  布尔运算中存在以下的优先级 非-与-或 (与对应乘法 $\times$，或对应加法 $+$)
  
  非 NOT 的表示是上划线：例如 $\overline{A}$ 表示非 $A$；且，上划线隐式的携带一个括号，例如 $\overline{A+B}$ 实际上代表的是 $\overline{(A+B)}$ 即，先计算 $A$ 或 $B$ 再对整体取非