ENGG1310 Electricity and electronics P1.3 Electromagnetic

课程内容笔记，自用，不涉及任何 assignment，exam 答案
Notes for self-use, do not include any assignments or exams

这一节主要介绍了电场理论及其应用 (Electric Field Theory and Applications)
涉及到了一部分高中知识，有点亲切

Basic Properties of Electric Charges 电荷的基本性质

分正负 (positive & negative)，异吸 (attract) 同斥 (repel)
electrically neutral object 的正负电荷平衡
电荷守恒定律 (conservation of charge) ：在任何 isolated system 中，电荷总数 (the algebraic sum of the charges) 保持不变
电荷是 quantized (量子化) 的：电量的变化是分立 (discrete) 的；任何带电体的电量都是 元电荷 (basic charge) $e$ 的整数倍

原子模型：带负电的 电子 (electrons) 围绕着带正电的 原子核 (nucleus) 旋转
原子核带正电是由于 质子 (protons) 的存在
自然界中几乎所有的电荷都来自于电子与质子
原子核中还有一种粒子 中子 (neutron)，其是中性的，不携带任何电荷 (carrying no charge)

在 SI 单位制 (SI unit) 中，电荷的单位是库伦 (coulomb, C)
元电荷/基本电荷 (basic charge) 的数值大小是 $|Q_e|=1.60\times 10^{-19} C$
$Q$ denotes for charge; $e$ denotes for charge of a single electron/proton

Coulomb's Law 库伦定理

库伦定理是描述真空中静止点电荷之间的相互作用力的定理

注意：
r 是单位向量：若不乘上 r，公式计算的是 magnitude of $F$
$\epsilon_0=8.854\times 10^{-12} \frac{C^2}{N \cdot m^2}$ ：真空电容率 (the capability of a vacuum to permit electric fields)

Electric Field 电场

对于距离为 $r$ 的点电荷 (point charge) $Q$ 与检验电荷 (test charge) $q$ ，它们之间的库伦力大小为

定义该点电荷 $Q$ 的电场 $E=\frac{F}{q}=\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{Q}{r^2}$
电场只与点电荷 $Q$ 与距离 $r$ 相关，与检验电荷 $q$ 无关

Field Lines 电场线

电场线是 虚构的，用于描述 电场强度 (Field Intensity) $E$

电场线上某点的电场方向：切线 (tangential to the field lines) 且指向箭头方向
电场强度：有多种表现方式：一般来说，电场线越密集 (dense) 的地方电场强度越大

Electric Flux 电通量

考虑一个球面 sphere

球心处的点电荷 $+Q$ 总能引致 (by induction) 球面上产生 $-Q$ 的电荷

我们引入电通量 (electric flux)/通量线 (flux line) 的概念
某点通量线的方向与场强 $E$ 方向一致
且电通量与电荷量成比例 (the amount of flux is proportional to the charge)
在 SI 单位制中， $\Psi=Q$ (即该比例的 proportion constant 为 $1$ )

与电场线相似，通量线 (flux line) 用来描述电通量的方向与大小

通量线由正电荷指向负电荷
通量线互相排斥，不会相交
电通量密度 (the density of electric flux) 与通量线密度成比例

根据电通量的定义不难看出，对任何闭合表面 (enclosed surface)而言
Total flux coming out $=$ Total (+ve) charge enclosed (+ve means positive, -ve means negative)

Flux density D

电通量密度定义为

(注意：只计算垂直 perpendicular 通过该面积的电通量)
$D$ 的方向与该点的场强 $E$ 方向一致
$\because D=\lim \limits_{s\to 0}\frac{\Psi}{s}$
$\therefore D \cdot \mathbf{ds} =d\Psi$ (ds 极小面积量: ds $=ds \cdot$ n, n 为单位向量，方向向外垂直于该面积)
所以有高斯定律 (Gauss'Law)

(由于是对面积积分，因此这里是二重积分)

求电通量密度 $\mathbf{D}$
在已知电荷分布 (charge distribution) 的情况下
找到这样一个闭合曲面 (closed surface) $S$ ，使得
在该曲面上，电通量密度 $\mathbf{D}$ 方向要么垂直于曲面，要么是曲面的切线
这意味着在该曲面上， $\mathbf{D} \cdot d\mathbf{s}$ 要么是 $Dds$ 要么是 $0$ (注意：有向与无向的区别)
在 $\mathbf{D} \cdot d\mathbf{s}$ 不为 $0$ 的部分上， $D=$ constant
想要找到这样的曲面 $S$ ，需要利用电荷系统的对称性 (symmetry)

下面是几个常见的具有对称性的电荷系统

带电的球 (charged sphere) 或点电荷 (point charge)
无限长的均匀带电 line (infinite line with uniform line charge density)
无限大的均匀带电板 (infinite plane with uniform surface charge density)

Gauss's Law 高斯定理

通过点电荷 $Q$ 在球面上的 Flux Density 推导

根据对称性，点电荷在球面上的 Flux 是均匀分布的
考虑距点电荷 $Q$ $r$ 处的某球面，其 Flux
$\Psi=Q=\iint \limits_{surface} D \cdot ds= D\cdot 4\pi r^2$ (这是因为 Flux 均匀分布)
$\therefore \mathbf{D}=\frac{Q}{4\pi r^2} \cdot \mathbf{a_r}$
与该点的电场强度进行对比
$\mathbf{E}=\frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0} \cdot r^2} \cdot \mathbf{a_r}$
由此可得出结论 (重要！！)
$\mathbf{D}=\epsilon_{0} \mathbf{E}$
高斯定理的积分形式 (integral form)

因此
Flux $\Psi=\iint \epsilon \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}=Q$
这被称为高斯定理的积分形式
此外，还有
$\iint \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S}=\frac{Q}{\epsilon_0}$
这一形式的高斯定理 implies，在任何闭合空间 (closed space) 内，场强对面积的积分 $=$ 该闭合空间内的净电荷量 (net charge) $/$ 该空间的电容率 (permittivity, 即 $\epsilon_0$ )
高斯定理：Points to Note 1
高斯定理是麦克斯韦方程 (Maxwell's equations) 之一
麦克斯韦方程是四个电磁学基本方程之一
高斯定理：Points to Note 2
高斯定理使得我们可以通过 电通量密度 $\mathbf{D}$ 来计算场强 $\mathbf{E}$
(联想之前关于求电通量密度 $\mathbf{D}$ 的对称系统)

Steady Magnetic Field 稳态磁场

任何磁体 (magnetic)，无论形状如何，都有南北两极
Poles exert forces on each other (同极相斥，异极相吸)
单磁极 (single magnetic pole) 从未被分离出来：磁极总是成对出现
在永磁体 (permanent magnetic) 或 移动电荷 (moving electric charge) 周围存在
磁场是一个 vector (有向矢量)，某点磁场的方向即该点小磁针北极的指向
磁感线 (magnetic field line)

Magnetic Flux and Density

对比电场强度 $\mathbf{E}$ 与磁场强度 (magnetic field intensity) $\mathbf{H}$
我们提出几个相似的概念：磁通量 $\phi$ (注意，是标量) 与 磁通量密度 $\mathbf{B}$
(与电通量 $\Psi$ , 电通量密度 $\mathbf{D}$ 作比较)

由于磁极一定成对出现，所有由正极出发的磁感线 (magnetic flux line) 都将回到负极
因此，对任意闭合曲面 (closed surface)，其净磁通量 (net magnetic flux) 都为 $0$
(联想闭合曲面内的净电通量 net electric flux 为 $Q$ : 这是因为正电荷可与负电荷分离，并不一定成对出现)
$\phi=\int \limits_{S} \mathbf{B} \cdot d \mathbf{S}=0$
这也是高斯定理应用在磁场上的表现形式

Maxwell's equation on static electric fields / steady magnetic fields

Electromagnetic Waves (EM) 电磁波

当电流变化时，相关的电场与磁场同样产生变化，并以波的形式在空气中传播
我们以这样的形式来 visualize EM：
一个交流发电机 (AC generator) 置于一条长且直的电路中央
交流发电机的运作会使电路中的电荷分布 (charge distribution) 产生变化，从而使电路周围电场强度 $\mathbf{E}$ 发生变化
变化的电场以光速向外传播 (The changing field propogates outwards)

同样，周围的磁场强度 $\mathbf{B}$ 同样会发生变化，且以光速向外传播

电场与磁场上是相互垂直 (perpendicular)的，且两者都与传播方向垂直，这样的波叫做横波 (traverse wave)