微积分 I 笔记

1.1 集合

这一节复习了高中关于集合的基础知识
介绍了一些新的概念

• 笛卡尔积 (Cartesian Product)
  集合 $X$ 与 $Y$ 的笛卡尔积 (直积) $X \times Y$ 是指包含了所有第一个成员属于 $X$，第二个成员属于 $Y$ 的所有有序对的集合
  $A\times B=\{(x, y)|x \in A, y \in B\}$

• 邻域 (neignbourhood)
  点 $a$ 的 $\delta$ $(\delta>0)$邻域：
  指开区间 $(a-\delta, a+\delta)$，也即 $U(a, \delta)=\{x| |x-a|<\delta\}$

• 去心邻域
  点 $a$ 的 $\delta (\delta>0)$ 的去心邻域 (即不包括点 $a$)：
  $U^0 (a, \delta)=\{x| 0<|x-a|<\delta\}$ (去心标记方式是 $U$ 上写一个小 $0$)

1.2 函数

1.3 数列极限 I

1. 引入
   对于无限数列 $a_n=\frac{n}{n+1}$，$a_n \rightarrow 1$ (趋近于 $1$)
   关于 $0.9999... = 1$

2. 数列极限的定义
   对于 $\{x_n\}$，若 $\exist a$，$\forall \epsilon > 0$，都 $\exist N$，使得对于所有 $n>N$ 的 $x_n$ 都满足 $|x_n-a|<\epsilon$
   那么我们就称 $a$ 为 $\{x_n\}$ 的极限 (或 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$)，也即 $\lim \limits_{n\to +\infty} x_n=a$
   这个定义的几何理解：对于以极限 $a$ 为中心，以任意常数 $\epsilon$ 为半径的邻域，一定能够找到数列中的某一项 $a_N$，使得这一项之后的所有项的取值全部落在该邻域内

3. 证明数列的极限 (即找到存在的 $N$)
   

1.4 数列极限 II

1. 若 $\{x_n\}$ 收敛，则其极限唯一
2. 若 $\{x_n\}$ 收敛，其有界
   • 有界是收敛的必要条件 (即收敛必有界，有界不一定收敛，例 $\{1, -1, 1, -1, 1...\}$)
   • 若数列单调有界，则必收敛
3. $\lim \limits_{n\to \infty} x_n=a (a>0), \exist N, n > N, x_n > 0$
4. 子数列：与子集的区别：子数列中项的相对顺序与原数列一致
   • 若某数列收敛于 $a$，则其子数列也收敛于 $a$
   • 若找到某个子数列不收敛，则原数列一定发散
   • 若找到两个子数列收敛，但其极限不同，则原数列不收敛 $e.g. \{1, -1, 1, -1, 1, ...\}$
   • 原数列收敛的充要条件：其奇数项子数列与偶数项子数列均收敛，且极限相同

1.5 函数极限 I

1. 函数极限 (趋近正无穷)
   当 $x\to + \infty$ 时，若 $\exist a, \forall \epsilon, \exist X$，使得 $x>X$ 时，$|f(x)-a|<\epsilon$
   则我们称函数趋近正无穷时极限为 $a$，即 $\lim \limits_{x\to+\infty} f(x)=a$

2. 函数极限 (趋近负无穷)

3. 函数极限 (趋近无穷(正&&负))
   当 $x\to \infty$ 时，若 $\exist a, \forall \epsilon, \exist X (X>0)$, 使得 $|x|>X$ 时，$|f(x)-a|<\epsilon$
   则 $\lim \limits_{x\to\infty}f(x)=a$

4. 函数极限 (趋近某个有限值 $x_0$)
   当 $x\to x_0$ 时，若 $\exist a, \forall \epsilon, \exist \delta > 0$，使得 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-a|<\epsilon$
   则 $\lim \limits_{x\to x_0}=a$
   注意：由于 $x$ 是趋近 $x_0$，所以在讨论时 $x$ 是取不到 $x_0$ 的。因此，$f(x)$ 在 $x_0$ 处可以没有定义，只需要在 $x_0$ 的去心邻域内有定义即可

5. 左极限与有极限

   • 左极限 (即趋近点 $x_0$ 的左侧的极限，$x<x_0$)：以 $x \to x^{-}_0$ 表示
   • 右极限 (即趋近点 $x_0$ 的右侧的极限，$x>x_0$)：以 $x \to x^{+}_0$ 表示
   • 左右极限定理：$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=a \iff \lim \limits_{x \to x^{-}_0}f(x)=\lim \limits_{x \to x^{+}_0}f(x)=a$
   • 推论1：若左(右)极限不存在，则 $x\to x_0$ 极限不存在
   • 推论2：若左右极限均存在但极限不相等，则 $x\to x_0$ 极限不存在

6. 函数极限的几何理解：
   以极限 $a$ 为中心，任意 $\epsilon$ 为半径的邻域一定能够 "框住" 由某处 $x=X$ 开始到无穷 (正或负) 的所有函数图像
   若讨论函数趋近某个定值 $x_0$ 的极限时，则是以极限 $a$ 为中心，任意 $\epsilon$ 为半径的邻域一定能够 "框住" 某个以 $x_0$ 为中心的去心邻域范围所对应的函数图像

1.5 函数极限 II

1. 唯一性：若极限存在，则在该点的极限是唯一的
2. 局部有限性：若趋近于 $x_0$ 的极限存在，则一定存在 $x_0$ 的去心邻域，函数在该范围内有界
3. 局部保号性：若 $\lim \limits_{x \to x_0} f(x)=a (a>0)$，则一定存在 $x_0$ 的去心邻域，函数在该范围内大于 $0$
4. 取函数 $f(x)$ 的一系列值形成数列 $\{x_n\}$: 若 $\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=a$，则 $\lim \limits_{x\to x_0}\{x_n\}=a$
   • 推论1：若 $\exist \{x_n\}$ 极限不存在，则原函数极限不存在
   • 推论2：若 $\exist \{x_n\}, \{y_n\}$ 极限存在但不相等，则原函数极限不存在
5. $f(x)=a+\alpha(x), \lim \limits_{x\to x_0} \alpha(x)=0$，则 $\lim \limits_{x\to x_0} f(x)=a$

1.6 无穷小与无穷大

1. 无穷小
   无限趋近于 $0$
   $\lim \limits_{x\to x_0} f(x)=0$ 此时 $f(x)$ 即是 $x\to x_0$ 的无穷小

   • 无穷小 $+/-/\times$ 无穷小仍是无穷小
   • 无穷小 $\times$ 有界仍是无穷小
   • 无穷小 $\div$ 无穷小可能是：常数，无穷大 ($\infty$)，无穷小 ($0$)

2. 无穷大
   即 $+\infty$ 与 $-\infty$

   • 无穷大 $\times$ 无穷大仍是无穷大 (注意符号判断)
   • 无穷大 $+$ 有界仍是无穷大
   • 无穷大 $+/-$ 无穷大可能是：常数，无穷大 ($\infty$)，无穷小 ($0$)

1.7 极限的运算法则

1. 四则运算
   若 $\lim f(x)=a, \lim g(x)=b$ (对所有的变化过程都成立)

   • $\lim (f(x)\pm g(x))=\lim f(x)\pm \lim g(x)$
   • $\lim (f(x)g(x))=\lim f(x)\times \lim g(x)$
   • $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)}(b\neq 0)$

2. 常数和与 $x$ 无关的变量 可以提出极限外

   • $\lim c\cdot f(x)=c \lim f(x)$
   • $\lim yf(x)=y\lim f(x)$ ($y$ 与 $x$ 无关)
   • 幂：$\lim f(x)^n=(\lim f(x))^n$

3. 分配律：两个条件：是有限个函数且每个函数存在极限
   $\lim (f_1(x)+f_2(x)+...+f_N(x))=\lim f_1(x)+\lim f_2(x)+...+\lim f_N(x)$，$N$ 为有限的

4. 复合函数求极限
   对于复合函数 $u=\phi (x), y = f(u)$
   $\lim \limits_{x\to x_0} f[\phi (x)]=f[\lim \limits_{x\to x_0} \phi(x)]$

5. $\lim u(x)^{v(x)}$
   $\lim u(x)=a, \lim v(x)=b$ 则 $\lim u(x)^{v(x)}=a^b$
   证：$\lim u(x)^{v(x)}=\lim e^{\ln u(x)^{v(x)}}=\lim e^{v(x) \ln u(x)}$
   根据复合函数求极限法则
   $\lim e^{v(x) \ln u(x)}=e^{\lim v(x) \ln u(x)}=e^{\lim v(x) \ln (\lim u(x))}=e^{b\ln a}=e^{\ln a^b}=a^b$

6. 求函数极限的相关题目
   $\lim \limits_{x\to a}=...$，$...$ 为：

   • 多项式或普通的有理分式：直接将 $x=a$ 代入，极限可能是常数，$0$ 或 $\infty$
   • 代入后 $\frac{\infty}{\infty}$ 型：
     若分子分母次数相同：极限为 最高次的系数之比
     若分母次数大于分子次数：极限为 $0$
     若分子次数大于分母次数：极限为 $\infty$
   • 代入后 $\frac{0}{0}$ 型：
     分子/分母有理化、洛必达法则：极限可能是常数，$0$ 或 $infty$
   • 无限项之和
     例：求 $\lim \limits_{n\to \infty}(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n}{n^2})$ 的极限
     注意：这里 $n\to \infty$ ，所以后面的项是无限的，不能使用分配律将极限拆开
     所以 $\lim \limits_{n\to \infty}(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+...+\frac{n}{n^2}) =\lim \limits_{n\to \infty} \frac{ \frac{1}{2} n(n+1)}{n^2}=\frac{1}{2}$

1.8.1 极限的存在准则

1. 夹逼定理
   对于函数 $f(x), g(x), h(x)$
   满足对于 $U(x_0, r)$ ($x_0$ 的半径为 $r$ 的去心邻域)，$g(x)\leq f(x) \leq h(x)$
   若 $\lim \limits_{x\to x_0} g(x)=h(x)=a$，则 $\lim \limits_{x\to x_0} f(x)=a$

   • 例：求 $\lim \limits_{n\to \infty} \frac{2^n}{n!}$
     $0<\frac{2^n}{n!}=\frac{2}{1} \times \frac{2\times 2\times ..2}{2\times 3 \times... (n-1)} \times \frac{2}{n}<\frac{4}{n}$ (小小的放缩)
     又 $\lim \limits_{n\to \infty} 0 = \lim \limits_{n\to \infty} \frac{4}{n}=0$
     根据夹逼定理 $\lim \limits_{n\to \infty} \frac{2^n}{n!}=0$

2. 单调有界数列必有极限
   即：单调增有上界数列必有极限；单调减有下界数列必有极限 (一定会增/减到接近界，所以必有极限)

   • 例：$a>0, x_1=\sqrt{a},x_n=\sqrt{a+x_{n-1}}$
     $\sqrt{a}<\sqrt{a+\sqrt{a}}$，即 $x_1<x_2$
     对于 $x_{n-1}<x_n$
     $a+x_{n-1}<a+x_n$
     $\sqrt{a+x_{n-1}}<\sqrt{a+x_n}$
     $x_n<x_{n+1}$
     所以数列单调递增
     $x_1=\sqrt{a}<\sqrt{a}+1$
     对于 $x_n<\sqrt{a}+1$
     $x_{n+1}=\sqrt{a+x_n}<\sqrt{a+\sqrt{a}+1}<\sqrt{a+2\sqrt{a}+1}=\sqrt{(\sqrt{a}+1)^2}=\sqrt{a}+1$
     所以数列存在上界 $\sqrt{a}+1$
     综上述，数列存在极限。设 $\lim \limits_{n\to \infty} \{x_n\}=b$
     $x_n=\sqrt{a+x_{n-1}}$
     $\lim \limits_{n\to \infty} \{x_n\}=\lim \limits_{n\to \infty} \sqrt{a+x_{n-1}}$
     $\lim \limits_{n\to \infty} \{x_n\}=\sqrt{\lim \limits_{n\to \infty} (a+x_{n-1})}$
     $b=\sqrt{a+b}$
     解出该式即可求出极限 $b$

1.8.2 两个重要极限

1. $\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=1$
   高中知识：$y= \sin x$ 与 $y=x$ 在 $x_0=0$ 处的导数相等
   推论：$\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin \alpha x}{x}=\alpha$ (将 $\alpha x$ 看成整体并配成原式)

2. $e$ 的定义：$\lim \limits_{n \to \infty} (1+\frac{1}{n})^n=e$

   • 例：求 $\lim \limits_{x\to +\infty}=(1-\frac{1}{x})^{\sqrt{x}}$
     $=\lim \limits_{x\to \infty} (1+\frac{1}{\sqrt{x}})^{\sqrt{x}} (1-\frac{1}{\sqrt{x}})^{\sqrt{x}}$
     $=\lim \limits_{x\to \infty}(1+\frac{1}{\sqrt{x}})^{\sqrt{x}}[(\lim \limits_{x\to \infty}(1+ \frac{1}{-\sqrt{x}}))^{-\sqrt{x}}]^{-1}$
     $=e\times \frac{1}{e}$
     $=1$

1.9 无穷小的比较

1. $\lim f(x)=0, \lim g(x)=0, g(x)\neq 0$

   • $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=0$，则 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，记为 $f(x)=o(g(x))$
   • $\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\infty$，则 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的低阶无穷小
   • $lim \frac{f(x)}{g(x)}=c (c\neq 0)$，则 $f(x)$ 是 $g(x)$ 的同阶无穷小
     若 $c=1$，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的等价无穷小，记为 $f(x)\sim g(x)$
     下面的 $2\sim 6$ 将会给出 $4$ 个常用的等价无穷小对，做题时可以进行替换简化计算

2. $\ln (1+x) \sim x, x\to 0$

3. $e^x-1 \sim x, x\to 0$
   推论：$a^x-1 \sim x\ln a, x\to 0$

4. $\sqrt[n]{1+x}-1 \sim \frac{1}{n}x, x\to 0$
   这个结论证明比较难，先引入一个式子(易知成立)：$a^n-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1)$
   $\therefore a-1=\frac{a^n-1}{(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+...+a+1}$
   直接将 $\sqrt[n]{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{n}}$ 看作 $a$ 并代入上式
   $(1+x)^{\frac{1}{n}}-1=(1+x-1)((1+x)^{\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\frac{n-2}{n}}+...+(1+x)^{\frac{1}{n}}+1)$
   $\therefore \lim \limits_{x\to 0} \frac{x((1+x)^{\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\frac{n-2}{n}}+...+(1+x)^{\frac{1}{n}}+1)}{\frac{x}{n}}=n\lim \limits_{x\to 0} ((1+x)^{\frac{n-1}{n}}+(1+x)^{\frac{n-2}{n}}+...+(1+x)^{\frac{1}{n}}+1)n\times \frac{1}{n}=1$
   注：$n$ 一定是有穷的，$n$ 若无穷极限的分配律不成立

5. $\sin x \sim x, \tan x \sim x, x\to 0$

6. 若 $f_1(x) \sim f_2(x), g_1(x) \sim g_2(x)$ 且存在 $\lim \frac{g_2(x)}{f_2(x)}$，则 $\lim \frac{g_1(x)}{f_1(x)}=\lim \frac{g_2(x)}{f_2(x)}$

   • 只有两个无穷小之比才可以进行替换
   • 若分子或分母是若干个因子的乘积，可以仅对部分的因子进行无穷小替换

7. 例题 (均是 $\frac{0}{0}$ 型)

   • $\lim \limits_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{x^3+3x}$
     $= \lim \limits_{x\to 0}\frac{2x}{x^3+3x}=\lim \limits_{x\to 0}\frac{2}{x^2+3}=\frac{2}{3}$ (利用了 $\sin x \sim x, x\to 0$)
   • $\lim \limits_{x\to 0}\frac{(e^x-1)\sin x}{1-\cos x}$
     $=\lim \limits_{x\to 0}\frac{x\times x}{2 \sin^2 \frac{x}{2}}$
     $=\lim \limits_{x\to 0}\frac{x\times x}{2 \times \frac{x^2}{4}}=2$

1.10.1 函数的连续性 I

1. 增量(改变量)
   $\Delta x$ (自变量增量)
   $\Delta y= f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ (因变量增量)
   注：增量可以为负

2. 函数在 $x=x_0$ 处连续的定义
   $f(x)$ 在 $x_0$ 的邻域内有定义 (注意是邻域而非去心邻域，这意味着 $x=x_0$ 时不一定需要有定义)
   定义一：$\lim \limits_{\Delta x \to 0}\Delta y=\lim \limits_{\Delta x \to 0} [f(x_0+\Delta x)-f(x_0)]=0$
   定义二：$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
   这些定义均包含三个条件：

   • 在 $x_0$ 处有定义
   • $x\to x_0$ $f(x)$ 有极限
   • 极限 $=f(x_0)$

3. 关于左连续与右连续
   若 $x_0$ 的右侧/左侧没有定义，则取 $x_0$ 的左邻域/右邻域

4. 在区间上连续
   区间 $[x_1, x_2]$
   在区间内部 $(x_1, x_2)$，连续
   在 $x=x_1$ 时右连续
   在 $x=x_2$ 时左连续

5. 关于间断点 (不连续)

   • 无穷间断
     不满足条件一：即在 $x\to x_0$ 时无定义
     例，对于函数 $y=\frac{1}{x}$，$x=0$ 即是其的无穷间断点
   • 震荡
     不满足条件二：即 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 无极限
   • 跳跃
     不满足条件三：即极限不等于 $f(x_0)$
   • 可去
     同样不满足条件三：即极限不等于 $f(x_0)$

跳跃间断与可去间断属于第一类：当 $x\to x_0$ 时左右极限均存在
而无穷间断与震荡间断属于第二类：左右极限不存在

6. 连续的几何解释：一笔画

1.10.2 函数的连续性 II

1. 函数运算对连续性的影响
   $f(x), g(x)$ 均为连续函数
   四则运算：$f(x) \pm g(x), f(x)\times g(x), \frac{f(x)}{g(x)} (g(x)\neq 0)$ 得出的新函数仍连续
   多项式：$a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$ 一定在 $(-\infty, +\infty)$ 上连续
   复合函数：$u=\phi (x), y=f(u)$ 均连续，复合函数 $f(\phi (x))$ 也连续
   反函数：$y=f(x)$ 连续并是单调函数，那么它的反函数也一定连续(注意，这里的单调条件是为了保证函数存在反函数)

2. 闭区间上连续的性质

   • 有界性：在 $[a, b]$ 上连续，函数值一定有界
   • 最值性：在 $[a, b]$ 上连续，函数一定有最大/最小值
   • 介值性：在 $[a, b]$ 上连续，函数的最大值为 $M$，最小值为 $m$，$\forall c (m < c < M)$，闭区间内一定存在 $\epsilon$ 使得 $f(\epsilon)=c$
   • 零点存在定理：在 $[a, b]$ 上连续，若 $f(a)f(b)<0$，则在 $(a, b)$ 内一定存在至少一个零点 (即函数值为 $0$ 的点)

2.1.1 导数的定义 I

1. 导数：用于描述函数的平均变化率(在 $x=x_0$ 处切线的斜率)
   $y=f(x)$ 在 $U(x_0)$ 有意义
   $x_0 \to x_0 + \Delta x, f(x_0) \to f(x+x_0)$，则函数在 $x=x_0$ 处的导数为 $\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

2. 其他表述
   $\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
   $\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

3. 利用导数的定义解题
   例：$y=x^2$ 求 $y'|_{x=2}$
   $x\to x+\Delta x, f(x) \to f(x+\Delta x)$
   $\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x)=2x\Delta x+(\Delta x)^2$
   $y'|_{x=2}=\lim \limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0}(2x+\Delta x)=2x=4$

4. 常见函数的导函数
   $y=c, y'=0$
   $y=x^n, y'=nx^{n-1}$ ($n$ 为整数)
   $y=x^a, y'=ax^{a-1}$
   $y=\sin x, y'=\cos x$
   $y=\cos x, y'=-\sin x$
   $y= \ln x, y'=\frac{1}{x}$
   $y=\log_a x, y'=\frac{1}{x \ln a}$
   $y=a^x, y'=a^x\ln a$
   $y=e^x, y'=e^x$

2.1.2 导数的定义 II

1. 导数的意义 $\lim \limits_{x\to x_0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$

   • $y=f(t)$ 时间-路程函数，$f'(t)$ 表示瞬时速度
   • 在 $x=x_0$ 处切线的斜率
   • 切线方程：$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$
     法线方程：$y-y_0=\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$

2. 关于单侧导数
   在有定义的区间 $[a, b]$ 上
   在 $x=a$ 时右可导，其右导数记为 $f_{+}'(a)$
   在 $x=b$ 时左可导，其左导数记为 $f_{-}'(b)$
   在区间内部函数可导，其充要条件为 左右导数均存在且相等 (该结论一般用于证明某点是否可导)
   
   例：对于 $y=|x|$，讨论在 $x=0$ 时是否可导
   $f_{+}(0)=\lim \limits_{\Delta x \to o^{+}} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0^{+}} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1$
   $f_{-}(0)=\lim \limits_{\Delta x \to o^{-}} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to 0^{-}} \frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$
   $\therefore f_{+}(0) \neq f_{-}(0)$
   在 $x=0$ 处函数不可导

3. 可导与连续的关系
   可导的几何意义：函数图像是光滑的
   连续的几何意义：函数图像可一笔画
   光滑的图像必能被一笔画，而可一笔画的图像不一定光滑($y=|x|$) $\iff$ 可导一定连续，连续不一定可导
   
   证明：
   可导意味着 $\lim \limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 存在
   连续意味着 $\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y=0$
   可导必连续：$\lim \limits_{\Delta x \to 0} \Delta y=\lim \limits_{\Delta x\to 0} (\frac{\Delta y}{\Delta x} \Delta x)=\lim \limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \lim \limits_{\Delta x\to 0} \Delta x=0$

2.2 求导法则

• $(u(x)+v(x))'=u'(x)+v'(x)$
  $(u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x))'=u_1'(x)+u_2'(x)+...+u_n'(x)$

• $(u(x)v(x))'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
  $(cu(x))'=cu'(x)$
  $(u(x)v(x)w(x))'=u'(x)v(x)w(x)+u(x)v'(x)w(x)+u(x)v(x)w'(x)$

• $(\frac{u(x)}{v(x)})'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}$

• 反函数的导数互为倒数
  $y=f(x), x=\phi (y)$ 那么 $f'(x)=\frac{1}{\phi '(y)}$
  例：求 $y=a^x$ 的导数
  $x=log_a y (y>0)$
  则 $(a^x)'=\frac{1}{(log_a y)'}=y \ln a=a^x \ln a$

• 复合函数求导链式法则
  $y=f(u), u=\phi(x)$
  $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$
  $(f(\phi(x)))'=f'(u) \cdot \phi '(x)$
  例：求 $f(x)=e^{sin^2 \frac{1}{x}}$ 的导数
  $f'(x)=e^{sin^2 \frac{1}{x}} \cdot 2sin \frac{1}{x} \cdot cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2})$

2.4 高阶导数

1. 二阶导数
   $y''=\frac{d \frac{dy}{dx}}{dx}=\frac{d^2 y}{dx^2}$ (注意指数的位置)
   $y'''$ (三阶导数)
   $y^{(4)}$ (四阶导数)

2. 隐函数求导
   对于 $x^2+y^2=r^2$，求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$
   两边同时对 $x$ 求导：$2x+2y \cdot \frac{dy}{dx}=0$ (第二项是复合函数求导)
   $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ (再两边同时对 $x$ 求导得到二阶导数)
   $\frac{d^2 y}{dx^2}=-\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{y^2}=-\frac{y+\frac{x^2}{y}}{y^2}=-\frac{y^2+x^2}{y^3}=-\frac{r^2}{y^3}$ (将 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$ 代入)

3. 参数方程求导
   $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$，求 $\frac{d^2 y}{dx^2}$
   $\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$
   $\therefore \frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dx}(\frac{\sin t}{1-\cos t})=\frac{d}{dt}(\frac{\sin t}{1-\cos t})\frac{1}{\frac{dx}{dt}}=-\frac{1}{a(\cos t-1)^2}$ (用到了反函数求导以及复合函数求导链式法则)
   讲一下自己对式子的理解：函数 $f(t)$ 对 $x$ 求导，而 $t=\phi (x)$，则 $f(\phi (x))=f' \phi'$，$\phi'$ 通过 $x=a(t-\sin t)$ 的反函数求导法则得出

4. 一些常见函数的高阶导数

   • $(u \pm v)^{(n)}=u^{(n)} \pm v^{(n)}$
   • $(cu)^{(n)}=cu^{(n)}$
   • $(uv)^{(n)}=\sum_{i=0}^n \C^i_n u^{((n-i))}v^{(i)}$
   • $(\sin x)^{(n)}=\sin (x+\frac{n\pi}{2})$
   • $(\cos x)^{(n)}=\cos (x+\frac{n\pi}{2})$

2.5.1 微分I

• 微分($dy$)是函数改变量($\Delta y$)的线性主要部分
  $f(x)$ 在 $x_0$ 邻域内有定义，$x_0+\Delta x$ 在邻域内
  若 $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ 可以表示为 $\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$ ($A$ 是与 $\Delta x$ 无关的常数，$o(\Delta x)$ 是 $\Delta x$ 的高阶无穷小)
  则我们称 $f(x)$ 在 $x_0$ 可微，其微分 $dy=A \Delta x$
  ($\Delta y$ 是函数改变量的精确值，$dy$ 是其的近似值)

• 一元函数在 $x_0$ 可微 $\iff$ 可导
  $dy=f'(x_0)\Delta x=f'(x_0)dx$
  这里是证明
  所以，定义中的常数 $A$ 即是 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数

• 微商(即导数)
  将 $dy=f'(x)dx$ 式子转变一下即得到求导公式 $f'(x)=\frac{dy}{dx}$
  在一元函数内导数就是微分的分数形式

• 微分的几何意义
  

2.5.2 微分II

• 微分基本公式：$dy=f'(x)dx$

• 四则运算
  $dc=c'dx=0$
  $d(u\pm v)=du \pm dv$
  $d(cu)=cdu$
  $d(uv)=vdu+udv$
  $d(\frac{u}{v})=(\frac{u}{v})dx=\frac{u'v-v'u}{v^2}dx=\frac{vdu-udv}{v^2}$
  (对于分式求微分的相关题目，若分子次数大于等于分母，可以配成 $x...+\frac{c}{x...}$ 的形式再求微分)

• 一阶微分的形式不变性
  对于 $y=f(u)$

  • 若 $u$ 为自变量，$dy=f'(u)du$
  • 若 $u$ 为函数 $u=\phi (x)$，则 $dy=y'_xdx=f'(u)(\phi '(x)dx)=f'(u)du$

• 隐函数求微分
  例：对于 $x^2+2xy-y^2=2x$ 求 $dy$

  • 方法一：等式两边同时对 $x$ 求导
    $x+y+xy'-yy'=1$
    $\therefore y'=\frac{1-x-y}{x-y}, dy=y'dx=\frac{1-x-y}{x-y}dx$
  • 方法二：等式两边同时求微分
    $xdx+xdy+ydx-ydy=dx$

• 微分的应用
  因为 $\Delta y \approx dy=f'(x_0)dx$
  所以 $f(x_0+\Delta x)$ 可由 $f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$ 近似得出 ($|\Delta x|$ 取很小)

• 等价无穷小的推出
  还记得上面的几个等价无穷小的结论(1.9-2)吗？它们可以由上式推导而来
  取 $x_0=0, \Delta x=x$ 则有 $f(x)\approx f(0)+f'(0)x$
  这个式子同样可以用于近似计算 (当且仅当 $x$ 很小的时候可以近似！)

3.1.1 微分中值定理

• 费马引理
  $f(x)$ 在 $x_0$, $U(x_0)$ 处有定义且在 $x_0$ 处可导
  若 $f(x)\leq f(x_0)$ (或 $f(x) \geq f(x_0)$) 则 $f'(x_0)=0$
  非常符合直觉的结论，下面是证明 ($f(x) \leq f(x_0)$的情况)
  $f_{-}'(x_0)=\lim \limits_{x\to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \geq 0$ (分子小于等于 $0$, 分母小于 $0$)
  $f_{+}'(x_0)=\lim \limits_{x\to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \leq 0$ (分子小于等于 $0$, 分母大于 $0$)
  又 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，所以 $f_{-}(x_0)=f_{+}(x_0)=0$

• 罗尔中值定理
  若 $f(x)$ 满足：1. 在 $[a, b]$ 上连续 2. 在 $(a, b)$ 上可导 3. $f(a)=f(b)$
  则至少存在一个 $\xi \in (a, b)$，使得 $f'(\xi)=0$

• 拉格朗日中值定理
  若 $f(x)$ 满足：1. 在 $[a, b]$ 上连续 2. 在 $(a, b)$ 上可导
  则至少存在一个 $\xi \in (a, b)$ 使得 $f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
  罗尔中值定理是拉格朗日中值定理在 $f(a)=f(b)$ 时成立的情况
  

3.1.2 柯西中值定理

若 $f(x)$和$F(x)$ 满足：1. 在 $[a, b]$ 上连续 2. 在 $(a, b)$ 上可导 3. $\forall x \in (a, b)$, $F'(x) \neq 0$
则至少有一点 $\xi$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}$
拉格朗日中值定理是柯西中值定理在 $F(x)=x$ 时成立的情况
这里 用构造函数法+罗尔中值定理对柯西中值定理进行了证明

3.1.3 泰勒定理

• 介绍
  泰勒公式，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的$n$阶导数值做系数构建一个$n$次多项式来近似表达这个函数
  之前介绍的近似公式 $f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 用某点的信息以 一次多项式 的形式描述附近函数的取值，误差可能较大

• 泰勒定理
  $f(x)$ 可以表示成 $x-x_0$ 的 $n$ 次多项式加余项 $R_n(x)$
  $f(x)=f(x_0)+\frac{f'(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)$
  拉格朗日型余项 $R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}, \xi \in (x_0, x)$
  拉格朗日余项实际是泰勒公式展开式与原式之间的一个误差值，如果其值为无穷小，则表明公式展开足够准确

• 麦克劳林公式
  泰勒公式在 $x_0=0$ 时成立的情况，即
  $f(x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+...+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$
  例：将函数 $f(x)=e^x$ 使用麦克劳林公式展开 ($f^{(n)}(0)=e^0=1$)
  $e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{e^{\theta x}}{(n+1)!}x^{n+1}$，其中 $f^{(n+1)}(\xi)=e^{\xi}=e^{\theta x}$
  $\therefore e^x \approx x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$
  
  另：类似的，$\sin x \approx = x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-...+\frac{(-1)^{m-1}}{(2m-1)!}x^{2m-1}+R_{2m}$

3.2 洛必达法则

1. 公式介绍
   若函数 $f(x), g(x)$ 满足
   (1）$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=\lim \limits_{x\to x_0}g(x)=0$ ($\frac{0}{0}$ 型)
   (2) 在 $x_0$ 的去心邻域内可导且 $g'(x) \neq 0$
   (3) $\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a$ (或者 $\infty$)
   则 $\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=a$ (或者 $\infty$)

2. 使用柯西中值定理进行证明
   首先可以发现，洛必达法则对 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x_0$ 处的定义有无并不做要求
   不如令 $f(x_0)=g(x_0)=0$ (这一步是为了满足应用柯西中值定理的条件)
   此时，$f(x), g(x)$ 在 $x_0$ 处定义，极限均存在且相等 ($\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)=0$)
   $\because$ $x$ 在 $x_0$ 的去心邻域内，$f(x), g(x)$ 在区间 $[x_0, x]$ 可导
   对 $f(x), g(x)$ 应用柯西中值定理，则有
   $\exist \xi \in (x_0, x)$ 使得 $\frac{f(x)-f(x_0)}{g(x)-g(x_0)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
   $\because \lim \limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$
   又 $\xi in (x_0, x), x\to x_0$，$\because \xi \to x_0$ (可以将 $x_0$ 理解为定值，$x$ 在 $x_0$ 的去心邻域内移动)
   最终有 $\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim \limits_{\xi\to x_0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\lim \limits_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

3. 洛必达法则的适用范围
   不定式极限：
   $\lim \frac{0}{0}$: 已证明，见上
   $\lim \frac{\infty}{\infty}=\lim \frac{\frac{1}{\infty}}{\frac{1}{\infty}}=\lim \frac{0}{0}$
   $\lim 0\cdot \infty=\lim \frac{1}{\infty} \cdot \infty=\lim \frac{\infty}{\infty}$
   $\lim 0^0=\lim e^{\ln 0^0}=e^{\lim 0 \ln0}=e^{\lim 0\cdot \infty}$
   $\lim 1^{\infty}=\lim e^{\ln 1^{\infty}}=e^{\lim \infty \ln 1}=e^{\lim 0\cdot \infty}$
   $\lim \infty^{0}=\lim e^{\ln \infty^0}=e^{\lim 0\ln \infty}=e^{\lim 0 \cdot \infty}$

4. 例题
   
   
   
   运用洛必达法则解题时注意以下几点：

   • 要符合不定式条件 （如 $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}$）
   • 结合重要极限，等价无穷小替换等方法简化计算
   • 若 $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 不存在也不等于 $\infty$ 时，不能断言原式 $\lim \frac{f(x)}{g(x)}$ 也不存在。应当采用洛必达以外的方法进行解题

3.3 函数单调性与凹凸性

1. 单调性
   单调递增 $f'(x)>0$ 递减 $f'(x)<0$ (若 $f'(x)\geq 0$，则等号只能在个别点成立)
   函数的分界点(函数单调性发生改变的点)：驻点 ($f'(x)=0$ 的点)，导数不存在的点 (这是一个充分不必要条件)
   当解答关于分析函数单调性的相关题目时，研究函数的导数，先找到函数分界点，再对各个区间进行分段讨论
   
   例：分析函数 $y=\sqrt[3]{x^2}$ 的单调性
   $y'=\frac{2}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$
   $x=0$ 是该函数的分界点，因为在此处导数不存在
   $x<0$ 时，$y'<0$，函数单调递减；$x>0$ 时，$y'>0$，函数单调递增

2. 凹凸性的定义
   (有没有联想到高中时接触过的极值点偏移类型的题目？)
   比较中点函数值与函数值中点的大小：对区间内任意 $x_1<x_2$，有
   凹：$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
   凸：$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

3. 凹凸性的性质
   凹：$f''(x)>0$
   凸：$f''(x)<0$
   这一性质通过观察函数图像切线斜率的变化可以很直观的理解；这里还是用拉格朗日中值定理进行证明
   
   对于定义域内的 $x1, x2(x1<x2), x_0=\frac{x_1+x_2}{2}, f''(x)>0$ (证明 $f''(x)>0$ 函数为凹函数)
   在 $[x_1, x_0]$，$f(x_0)-f(x_1)=f'(\xi_1)(x_0-x_1), \xi_1 \in (x_1, x_0)$
   在 $[x_0, x_2]$，$f(x_2)-f(x_0)=f'(\xi_2)(x_2-x_0), \xi_2 \in (x_0, x_2)$
   两式相减整理得
   $2f(x_0)-[f(x_1)+f(x_2)]=\frac{1}{2} (x_2-x_1)(f'(\xi_1)-f'(\xi_2))$
   对导函数 $f'(x)$ 再次使用一次拉格朗日中值定理
   $f'(\xi_1)-f'(\xi_2)=f''(\eta)(\xi_1-\xi_2), \eta \in (\xi_1, \xi_2)$
   由条件可知 $f''(\eta)>0, x_2-x_1>0, \xi_1-\xi_2<0$
   $\therefore 2f(x_0)-[f(x_1)+f(x_2)]=\frac{1}{2} (x_2-x_1)(f'(\xi_1)-f'(\xi_2))=\frac{1}{2} (x_2-x_1)f''(\eta)(\xi_1-\xi_2)<0$
   $\therefore f(x_0)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$
   x

4. 拐点
   类似研究单调性时的 分界点：函数的 拐点 是指 $f''(x)=0$ 的点或者二阶导数不存在的点 (这是一个充分不必要条件)
   函数在经过拐点后，凹凸性发生改变 (这才是充要条件)
   当解答关于分析函数凹凸性的相关题目时，研究函数的二阶导数，先找到函数的拐点，再对各个区间进行分段讨论
   x

5. 利用函数的凹凸性进行证明
   例：求证 $\frac{e^a+e^b}{2}>e^{\frac{a+b}{2}}, a\neq b$
   对于 $f(x)=e^x, f''(x)\=e^x>0$
   $\therefore f(x)$ 是凹函数，对于任意定义域内的 $a, b$ 都有
   $\frac{f(a)+f(b)}{2}>f(\frac{a+b}{2})$
   得证

3.4.1 极值

1. 极大值(点)与极小值(点)
   $U(x_0)$，$\forall x \in U(x_0^{\cap})$ 都有 $f(x)<f(x_0)$，那么称 $f(x_0)$ 为一个极大值，$x_0$ 为一个极大值点
   $U(x_0)$，$\forall x \in U(x_0^{\cap})$ 都有 $f(x)>f(x_0)$，那么称 $f(x_0)$ 为一个极小值，$x_0$ 为一个极小值点
   极值是一个局部概念，对于某个函数，极值不唯一，也不一定相等

2. 极值点 $\Rightarrow$ 驻点或导数不存在的点 (充分不必要)
   $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，且在 $x_0$ 取极值，则 $f'(x_0)=0$ (可导函数的极值点一定是驻点)
   证：设在 $x_0$ 取极大值，则 $\forall x \in U(x_0^{\cap})$ 都有 $f(x)<f(x_0)$
   左导数 $\lim \limits_{\Delta x \to 0^{-}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\geq 0$
   右导数 $\lim \limits_{\Delta x \to 0^{+}}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\leq 0$
   又函数在 $x_0$ 可导 $\therefore$ $x_0$ 处左右导数相等，$f'(x_0)=0$ 得证

3. 讨论定理 $2$ 充要的补充条件
   $f(x)$ 在 $(x_0-c, x_0+c)$ 内连续，在 $x_0$ 的去心邻域上可导，且 $f'(x_0)=0$ 或在 $x=x_0$ 时导数不存在
   （1）左增右减：$x\in(x_0-c, x_0), f'(x)>0; x\in(x_0, x_0+c), f'(x)<0$ 则 $x_0$ 为极大值点
   （2）左减右增：则 $x_0$ 为极大值点
   （3）左右均增(减)：$f'(x)$ 在 $x_0$ 处不变号，$x_0$ 不是极值点
   
   运用该结论解答求极值点相关题目：
   (1) 在定义域内，找到驻点与导数不存在的点
   (2) 判断 $f'(x)$ 在上述点左右的符号 (画 $x-f'(x)-f$ 表, 3.4-32:00)

4. 若在 $x=x_0$ 处有二阶导, $f'(x_0)=0, f''(x_0)\neq 0$：若 $f''(x_0)>0$，则 $x_0$ 为极小值点；若 $f''(x_0)<0$，则 $x_0$ 为极大值点
   证：当 $f'(x_0)=0, f''(x_0)>0$
   $f''(x_0)=\lim \limits_{\Delta x\to 0}\frac{f'(x_0+\Delta x)-f'(x_0)}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x\to 0}\frac{f'(x_0+\Delta x)}{\Delta x}>0$
   $\therefore \lim \limits_{\Delta x\to 0^{-}}f'(x_0+\Delta x)<0, \lim \limits_{\Delta x\to 0^{+}}f'(x_0+\Delta x)>0$
   左减右增，$\therefore x_0$ 为极大值点得证
   注意：当 $f''(x_0)=0$ 时 $x_0$ 可能为极值点，也可能不是，此时应采取结论 $3$ 进行解答

3.4.2 最值

1. 最小值(点)与最大值(点)
   在定义域 $I$ 有定义，$x\in I$，都有
   $f(x)\geq f(x_0)$ 则 $f(x_0)$ 是最小值，$x_0$ 是最小值点
   $f(x)\leq f(x_0)$ 则 $f(x_0)$ 是最大值，$x_0$ 是最大值点
   最值是一个全局概念，最值是唯一的

2. 求最值点
   找到定义域内所有：驻点，导数不存在的点，端点
   其中函数值最大的点为最大值点；函数值最小的点为最小值点

3. 特殊的最值点
   在 $I$ 上连续且单调：最值点一定位于端点
   在 $I$ 上有且只有一个极值点：该极值点一定是一个最值点

3.5 函数作图

1. 函数的水平渐近线
   若 $\lim \limits_{x\to \infty}f(x)=a$，则 $y=a$ 是其的一条水平渐近线 (注意区分是朝正无穷渐进还是朝负无穷渐进)

2. 函数的垂直渐近线
   若 $\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=\infty$，则 $x=x_0$ 是其的一条垂直渐近线
   一般来说，分式函数 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 有垂直渐近线 $x=x_0$，则有 $g(x_0)=0$

3. 函数的斜渐近线
   函数在 $x$ 趋于无穷时 $y$ 趋于某条直线 $y=kx+b$，即 $\lim \limits_{x\to \infty}f(x)=kx+b$，即 $y=kx+b$ 是其的一条斜渐近线
   对于 $f(x)$ 的斜渐近线 $y=kx+b$ 有
   $\lim \limits_{x\to \infty}(f(x)-kx)=b$
   $\lim \limits_{x\to \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim \limits_{x\to \infty}\frac{kx+b}{x}=\lim \limits_{x\to \infty}(k+\frac{b}{x})=k$
   由上式可以看出，一般趋近无穷时表现为一次的函数才具有斜渐近线 (例分母的次数为分子的次数多 $1$)

4. 例：求渐近线的相关题目
   求函数 $f(x)=\frac{x^3}{x^2+2x-3}$ 的渐近线
   （1）$\lim \limits_{x\to infty}f(x)=\infty$ 所以无水平渐近线
   （2）$x^2+2x-3=0$ $\therefore x=-3$ 或 $1$ 所以有两条垂直渐近线 $x=-3$ 与 $x=1$
   （3） $\lim \limits_{x\to \infty}\frac{f(x)}{x}=\lim \limits_{x\to \infty}\frac{x^2}{x^2+2x-3}=1$，$\lim \limits_{x\to \infty}(f(x)-x)=-2$，所以有一条斜渐近线 $y=x-2$

5. 微分法作图
   （1）找到定义域上：不连续点(一般是分母等于 $0$ 的点)，与坐标轴相交的点
   （2）研究函数的奇偶性，周期性
   （3）研究函数的渐近线 (水平，垂直，斜)
   （4）研究 $f'(x)=0, f''(x)=0$，$f', f''$ 不存在的点，以确定函数的极值点，驻点(增减性)，拐点(凹凸性)，并作出 $f'-f''-f$ 表格
   （5）其他特殊点

4.1 不定积分

1. 定义与符号
   在微积分中，一个函数 $f$ 的不定积分，或原函数，是一个导数等于 $f$ 的函数 $F$，即 $F'=f$
   不定积分符号 $\int$：$\int f(x)dx=F(x)+c$
   若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则我们将 $f(x)$ 的全体原函数 $F(x)+c$ 称为 $f(x)$ 的不定积分

2. 一些性质

   • $[\int f(x)dx]'=f(x)$
     $\int f'(x)dx=f(x)+c$ (积分和求导可视为互为逆运算)
   • $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ ($k$ 为常数或与 $x$ 无关的变量)
   • $\int [f_1(x)+f_2(x)+...+f_n(x)]dx=\int f_1(x)dx+\int f_2(x)dx+...+\int f_n(x)dx$ ($n$必须是有限的)

3. 基本积分公式

   • $\int 0dx=c$
   • $\int kdx=kx+c$
   • $\int x^a dx=\frac{1}{a+1}x^{a+1}+c (a\neq -1)$
   • $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+c$
   • $\int e^x dx=e^x+c$
   • $\int \sin x dx=-\cos x + c$
   • $\int \cos x dx=\sin x + c$
   • $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+c$
   • $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x + c$
   • $\int a^xdx=\frac{1}{\ln a}a^x+c$

4.2.1 第一换元积分法 (凑微分法)

1. 在求不定积分时，把被积分式凑成某个函数的微分的方法称为凑微分法：
   其核心是利用公式 $dy=f'(x)dx$ 将微分 $d$ 外面的某项 “拿” 到 $d$ 里面去 (变成原函数) 并凑基本积分公式
   $\int g(x)dx=\int f(\phi(x)) \phi'(x)dx=\int f(\phi(x))d\phi(x)=\int f(u)du=F(u)+c=F(\phi(x))+c$

2. 例题
   
   
   
   若被积分式的三角函数 ($\sin x, \cos x$) 是奇数次，就将其中某一项拿到 $d$ 里去，再运用 $sin^2 x+cos^2 x=1$ 转换成统一的三角函数
   若本来就是偶数次，则运用倍角公式，和差化积等等公式进行统一

4.2.2 第二换元积分法

1. 第二类换元法的基本形式是 $f(x), x=g(t),f(x)=f(g(t))$，是在被积函数的自变量 $x$ 后面增加一级自变量 $t$ 取代原来的自变量，求出积分之后再回代 $x$
   使用第二类换元法是要改变被积函数形式的，通常用来积分根式、三角函数
   $\int f(x)dx=\int f(\phi(t))\phi '(t)dt, x=\phi(t)$

2. 例题
   
   

3. 一些常见三角换元题型总结的公式
   $\int \frac{dx}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}|+c$
   $\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{a}+c$

4.2.3 分部积分法

1. 分部积分法推导
   对于求导公式 $u'v'=u'v+v'u$ 等式两边同时对 $x$ 求不定积分
   $\int (u'v')dx=\int vu'dx+\int uv'dx$
   $\therefore uv=\int vdu+\int udv, \int udv=uv-\int vdu$

2. 例题

   • $\int x \sin x dx=-\int xd \cos x=-(x\cos x-\int \cos xdx)=-x\cos x+\sin x +c$
   • $\int xe^x dx=\int xde^x=xe^x-\int e^xdx=(x-1)e^x+c$
   • $\int x\ln xdx=\frac{1}{2} \int \ln x dx^2=\frac{1}{2}(x^2\ln x-\int x^2d\ln x)=\frac{1}{2}(x^2\ln x-\int xdx)=\frac{1}{2}(x^2\ln x-\frac{1}{2}x^2)+c$
   • $\int e^x\cos xdx=\int e^x d\sin x=e^x \sin x-\int \sin x de^x=e^x \sin x-\int e^x \sin xdx=e^x \sin x+ \int e^x d \cos x=e^x \sin x+e^x \cos x-\int \cos x de^x=e^x \sin x+e^x \cos x-\int e^x \cos x dx$
     $\therefore \int e^x\cos xdx=\frac{e^x \sin x+e^x \cos x}{2}+c$ （多次分部积分+方程思想）

3. 反(三角函数)对(数函数)幂(函数/多项式函数)指(数函数)三(角函数)，谁靠后谁与 $d$ 结合再使用分部积分法

4.3 有理函数的积分

对形如 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 的函数 ($P(x), Q(x)$ 均为多项式) 求积分

1. 先将 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 转化为真分式 (分母多项式的次数$>$分子多项式的次数)
   若 $Q(x)$ 次数 $< P(x)$ 次数：使用多项式除法(大除法) $\frac{P(x)}{Q(x)}=a+\frac{P_1(x)}{Q(x)}$ ，此时得到真分式 $\frac{P_1(x)}{Q(x)}$
   若 $Q(x)$ 次数 $= P(x)$ 次数：使用配方法 $\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{aQ(x)-aQ(x)+P(x)}{Q(x)}=a+\frac{P(x)-aQ(x)}{Q(x)}$ ($a$ 取分子分母最高次项系数之比以消去分子的最高次项，以得到真分式)
   若 $Q(x)$ 次数 $> P(x)$ 次数：本身就是真分式，无需转化

2. 对于转化后形如 $\int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx$ 的真分式积分
   若 $b^2-4ac=0$：则 $\int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx=\int \frac{1}{a(x-x_1)^2}dx=\int \frac{1}{a}(x-x_1)^{-2}d(x-x_1)=-\frac{1}{a}(x-x_1)^{-1}+c$
   若 $b^2-4ac>0$：则 $\int \frac{1}{ax^2+bx+c}dx=\int \frac{1}{a(x-x_1)(x-x_2)}dx=\frac{1}{a} \int (\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2})dx$，这一步后使用待定系数法列方程解出 $A$ 与 $B$，再分别求积分$\int \frac{A}{x-x_1}d(x-x_1)+\int \frac{B}{x-x_2}d{x-x_2}=A\ln|(x-x_1)|+B\ln|(x-x_2)|+c$
   若 $b^2-4ac<0$：则 $ax^2+bx+c=a(x+x_1)^2+h=h(\sqrt{\frac{a}{h}}(x+x_1))^2+1$，采用 $\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x + c$ 公式求解

3. 对于转化后形如 $\int \frac{dx+e}{ax^2+bx+c}dx$ 的真分式积分
   

4. 其他