51nod 1835 完全图
题意
给定一个 \(N\) 个点的完全图,现在要移除至少一条边,问移除后恰好有 \(M\) 个联通块的方案数是多少
\(N,M \leq 300\)
解法
可以发现每一种删边方案都对应着一种加边方案,又给出的图是完全图,那么实际上就是要求我们求出 \(N\) 个点可以形成的联通块的个数
数据范围明示了是 \(N^3\) 可以解决的问题,我们设 \(f_{i,j}\) 为 \(i\) 个点形成 \(j\) 个联通块的方案数
枚举新添加的元素所在的集合大小 \(k\),那么 $f_{i, j} = f_{i-k, j-1} \times f_{k, 1} \times {i-1\choose k-1} $
组合数是由于方案中的点是带标号的
\(k\) 是新的联通块大小,枚举范围是 \(1 \to i-j+1\)。 \(j=1\) 时我们发现无法转移,需要单独计算
那么 \(N\) 个点形成的联通块方案是什么呢?考虑简单的容斥,任意连边的方案共有 \(2^{\frac{N(N-1)}{2}}\) 种,那么 \(f_{n,1}-\sum f_{n, i}\)
代码
#include <cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int MAX_N = 510;
const int mod = 998244353;
int N, M;
int C[MAX_N][MAX_N], pw[MAX_N * MAX_N];
int f[MAX_N][MAX_N];
void init() {
int lim = 500;
for (int i = 0; i <= lim; ++i) {
C[i][0] = 1;
for (int j = 1; j <= i; ++j) C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;
}
pw[0] = 1;
for (int i = 1; i <= lim * lim; ++i) pw[i] = (pw[i - 1] * 2LL) % mod;
}
signed main() {
scanf("%lld%lld", &N, &M);
init();
f[0][0] = 1;
for (int i = 1; i <= N; ++i) {
for (int j = 1; j <= i; ++j)
for (int k = 1; k <= i - j + 1; ++k) (f[i][j] += 1LL * C[i - 1][k - 1] * f[i - k][j - 1] % mod * f[k][1] % mod) %= mod;
f[i][1] = pw[i * (i - 1) / 2];
for (int j = 2; j <= i; ++j) (f[i][1] += mod - f[i][j]) %= mod;
}
if (M == 1) printf("%lld\n", f[N][M] - 1);
else printf("%lld\n", f[N][M]);
return 0;
}