BZOJ4919 大根堆

题意

给定一颗 \(N\) 个点的有根树，编号一次为 \(1\) 到 \(N\)，其中 \(1\) 号点为根节点。每个节点有一个权值 \(v\)

你可以修改任意个点的点权，使这颗树满足下面的性质：

对于任意两点 \(i,j\)，如果 \(i\) 在树上是 \(j\) 的祖先，那么 \(v_i<=v_j\)

请你最小化修改的次数

解法

考虑一条链的情况，我们把从叶子到根的数提取出来，可以发现实际上就是对这一序列求一个最长不上升子序列：因为要求修改的数最少实际上是要求保留的数最多

这个结论实际上是可以推广到树上的：考虑一个节点 \(x\)，在到达 \(x\) 之前其子树的答案实际上是互不影响的，那么在计算 \(x\) 的贡献时我们把子树合并即可

维护 \(LIS\) 用经典的 \(O(n \log n)\) 的单调栈方法即可，为了方便合并，可以用 multiset 替代单调栈来维护。合并时可以启发式合并保证复杂度

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <set>

using namespace std;

const int MAX_N = 2e5 + 10;

int N;

int a[MAX_N];

int head[MAX_N], to[MAX_N << 1], nxt[MAX_N << 1], cap;

inline void link(int u, int v) { to[++cap] = v, nxt[cap] = head[u], head[u] = cap; }

multiset<int> s[MAX_N];
typedef multiset<int>::iterator iter;

void DFS(int x, int fa) {
	for (int i = head[x]; i; i = nxt[i]) {
		int v = to[i];
		if (v ^ fa) {
			DFS(v, x);
			if (s[x].size() < s[v].size())  swap(s[x], s[v]);
			for (iter it = s[v].begin(); it != s[v].end(); ++it)  s[x].insert(*it);
		}
	}
	iter it = s[x].lower_bound(a[x]);
	if (it != s[x].begin())  s[x].erase(--it);
	s[x].insert(a[x]);
}

int main() {
	
	scanf("%d", &N);
	
	for (int i = 1; i <= N; ++i)  scanf("%d", a + i);
	
	int u, v;
	for (int i = 1; i < N; ++i) {
		scanf("%d%d", &u, &v);
		link(u, v), link(v, u);		
	}
	
	DFS(1, 0);
	
	printf("%d\n", N - s[1].size());
	
	return 0;	
}