10.4 Help Bubu

题意

Bubu的书架上有\(N\)本书。定义混乱值为连续相同高度书本的段数

你可以取出至多\(K\)本书并把它们插入到书架的任意个位置。请最小化最后书架的混乱度并输出

\(N\leq 500,K\leq 100\)，书的高度在\(25\)到\(32\)之间

解法

观察到书的高度只有\(8\)种取值，考虑进行状压

想象一个DP过程：在\(N\)本书中取出\(K\)本放在一边，在每本书取\(/\)不取都考虑完后，把取出的\(K\)本书插进书架中：具体的插入方法是，如果有与这本书高度相同的书，那么就插进去；否则在原有的基础上贡献\(1\)混乱度

我们可以设出状态\(f[i][j][k][S]\)代表前\(i\)个数，取出了\(j\)本书，书架中剩下的最后一本书的高度为\(k\)，目前在书架中的书的种类\(S\)（状压后）

转移时，我们只需要讨论当前第\(i\)本书是取出来还是留在书架里

若取出来

\[f[i][j][k][S]=min\{f[i-1][j-1][k][S]\} \]

若留在书架里

\[f[i][j][h_i][S∪h_i]=min\{f[i-1][j][k][S]+[k\neq h_i]\} \]

那么最后统计答案时

\[ans=\sum f[N][K][k][S]+btc(S \oplus s) \]

这里的\(\oplus\)运算指的是异或运算，\(btc\)指的是二进制位中一的个数

这也很好理解，因为按照上面我们思考的DP过程，我们只需要统计被取出来但书架中没有出现该高度的书的个数即可

代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <iostream>

using namespace std;

int read();

int N, K, cs;

int a[510], btc[300];
int f[2][110][10][300];

inline void chkmin(int& x, int y) { x = x < y ? x : y; }

int main() {
	
//	freopen("book.in", "r", stdin);
//	freopen("book.out", "w", stdout);

	for (int i = 1; i < (1 << 8); ++i)  btc[i] = btc[i >> 1] + (i & 1);
	
	while (true) {
	
		N = read(), K = read();	
		if (!N && !K)  break;		
		
		for (int i = 1; i <= N; ++i)  a[i] = read() - 24;
	
		memset(f[1], 0x3f, sizeof f[1]);
		f[1][0][a[1]][1 << (a[1] - 1)] = 1, f[1][1][0][0] = 0;
			
		for (int i = 2; i <= N; ++i) {
			memset(f[i & 1], 0x3f, sizeof f[i & 1]);
			for (int j = 0; j <= i && j <= K; ++j)
				for (int k = 0; k <= 8; ++k)
					for (int S = 0; S < (1 << 8); ++S) {
						if (j)  chkmin(f[i & 1][j][k][S], f[(i - 1) & 1][j - 1][k][S]);
						chkmin(f[i & 1][j][a[i]][S | (1 << (a[i] - 1))], f[(i - 1) & 1][j][k][S] + (a[i] != k));
					}
		}
	
		int s = 0;
		for (int i = 1; i <= N; ++i)  s |= (1 << (a[i] - 1));
	
		int ans = 0x3f3f3f3f;
		
		for (int i = 1; i <= 8; ++i)
			for (int j = 0; j <= K; ++j)
				for (int S = 0; S < (1 << 8); ++S)
					ans = min(ans, f[N & 1][j][i][S] + btc[S ^ s]);	
	
		printf("Case %d: %d\n\n", ++cs, ans);
	}
	return 0;
}

int read() {
	int x = 0, c = getchar();
	while (!isdigit(c))  c = getchar();
	while (isdigit(c))   x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
	return x;	
}