ICPC Shanghai 网络赛 Stone Game

题意

给定一个可重集\(S\)，请求出满足下面条件的子集\(S'\)个数：

• \(S'\geq S-S'\)
• \(S'-a_i \leq S-S'\)，其中\(a_i \in S'\)

\(|S|\leq 300, a_i \leq 500\)

解法

\(\tt {hin}\)有味的计数题，虽然\(A\)的人很多，但是我没想出来

我们令满足条件的集合为集合\(A\)，其补集为\(B\)

首先要发现一个性质，如果集合\(A\)中的元素最小值为\(a\)，那么如果\(A\)为满足条件的子集，\(A-a\leq B\)

那么我们考虑枚举\(a\)

为了保证单调，我们把所有元素从小到大排序，倒序枚举\(a\)

我们假设当前枚举到的\(a\)是\(a_i\)，那么\(a_1\)至\(a_{i-1}\)一定都属于\(B\)集合

这是因为我们枚举的\(a\)是集合中的元素最小值，所以小于\(a\)的元素一定不在\(A\)集合中

此时合法的\(A\)集合中包含的元素一定有\(a_i\)，并且剩下的元素都来自\(a_{i+1}\)至\(a_n\)

我们先处理出一个\(DP\)数组\(f[i][j]\)代表考虑\(i\)到\(n\)中的元素，选择的\(A\)集合与\(B\)集合权值之差为\(j\)的方案数

转移方程还是比较好想的，即

\[f[i][j]=f[i+1][j+a_i]+f[i+1][j-a_i] \]

至于下标为负的情况，强制转正即可

由于\(a_1\)至\(a_{i-1}\)一定属于\(B\)集合，我们统计一下前缀和，那么\(B\)集合的权值至少为\(sum_{i-1}\)

为了满足上面的条件即$A-a\leq B $

我们把\(A\)分为两个部分\(A=a+A'\)，其中\(A'\)是\(A\)集合在\(i\)右侧的部分，同样的，把\(B\)也分为\(i\)左侧的部分\(B''\)（很明显\(B''\)的权值大小即\(sum_{i-1}\)）与右侧的部分\(B'\)

\[\because A-a \leq B \\ \therefore a+A'-a \leq B'+B'' \\ \therefore A'-B' \leq sum_{i-1} \]

又要满足限制\(1\)，即$A\geq B $

\[\because A\geq B \\ \therefore a+A' \geq B'+B''\\ \therefore A'-B' \geq sum_{j-1}-a \]

这样我们就确定了上下界，枚举差值转移即可

代码

蒯了\(\tt {JR}\)的代码（考场上就\(A\)了，是真的强）

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年09月15日 星期日 12时55分49秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 305;
const int maxm = 300005;
const int mid = 150000;
const int mod = 1000000007;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9')	res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int T,n,mi,mx,ans;
int a[maxn],sum[maxn];
int f[2][maxm];
bool now,pre;
void add (int &x,int y){	x=((x+y)%mod+mod)%mod;}
//{{{solve
int solve (int x)
{
	//x左边所有的数都不可以被选
	int c=sum[x-1]+mid;
	int res=0;
	for (int i=0;i<=a[x];++i)	add(res,f[pre][c-i]);
	return res;
}
//}}}
int main()
{
	cin>>T;
	while (T--){
		cin>>n;
		now=pre=false;
		ans=mx=0;
		memset(f,0,sizeof(f));
		f[0][mid]=1;
		for (int i=1;i<=n;++i)	cin>>a[i],mx+=a[i];
		mi=mid-mx,mx+=mid;
		sort(a+1,a+n+1);
		for (int i=1;i<=n;++i)	sum[i]=sum[i-1]+a[i];

		for (int i=n;i>=1;--i){
			now=!now,pre=!now;
			for (int j=mi;j<=mx;++j)
                f[now][j]=(f[pre][j-a[i]]+f[pre][j+a[i]])%mod;
			add(ans,solve(i));
		}

		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}